6.137 Um tanque rígido de aço com 1 \mathrm{~m}^{3} e massa de 40 kg contém ar a 500 kPa . As temperaturas do tanque e do ar são inicialmente iguais a 20^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} tanque está ligado, por meio de uma ramificação com válvula, a uma linha onde ar escoa a 2 MPa e 20^{\circ} \mathrm{C}. A válvula é aberta, permitindo o escoamento de ar para o tanque, e só é fechada quando a pressão interna atinge 1,5 \mathrm{MPa}. Admitindo que o tanque e o ar estejam sempre em equilibrio térmico e que a temperatura final seja 35^{\circ} \mathrm{C}, determine a massa final de ar e o calor transferido.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque rígido de aço de volume V=1\\ \mathrm{m^3} e massa m_{\mathrm{tanque}}=40\\ \mathrm{kg} inicialmente contendo ar a p_{1}=500\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=20^\circ\mathrm{C}. O tanque é conectado por uma válvula a uma linha onde o ar está a p_{\mathrm{linha}}=2\\ \mathrm{MPa} e T_{\mathrm{linha}}=20^\circ\mathrm{C}. Abre-se a válvula até a pressão interna atingir p_{2}=1{,}5\\ \mathrm{MPa} e, mantido em equilíbrio térmico, chega a T_{2}=35^\circ\mathrm{C}.
Conteúdo: balanço de massa para volume rígido e balanço de energia para sistema de massa variável (ar no tanque). Usaremos o gás ideal para o ar ( R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/kg\,K}), e as capacidades caloríficas constantes c_{v}=0{,}718\\ \mathrm{kJ/kg\,K}, c_{p}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/kg\,K}.

Passo 2

Calcular a massa inicial de ar no tanque aplicando a equação de estado do gás ideal:
m_{1}=\frac{p_{1}\,V}{R\,T_{1}}
Convertendo T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K} e usando p_{1}=500\\ \mathrm{kPa},
m_{1}=\frac{500\;\mathrm{kPa}\times1\;\mathrm{m^3}}{0{,}287\;\mathrm{kJ/kg\,K}\times293\;\mathrm{K}} \approx5{,}95\;\mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a massa final de ar, sabendo que p_{2}=1{,}5\\ \mathrm{MPa}=1500\\ \mathrm{kPa} e T_{2}=35^\circ\mathrm{C}=308\\ \mathrm{K}:
m_{2}=\frac{p_{2}\,V}{R\,T_{2}} =\frac{1500\;\mathrm{kPa}\times1\;\mathrm{m^3}}{0{,}287\;\mathrm{kJ/kg\,K}\times308\;\mathrm{K}} \approx16{,}97\;\mathrm{kg}.
Logo, a massa que entrou é
m_{\mathrm{in}}=m_{2}-m_{1}\approx16{,}97-5{,}95=11{,}02\;\mathrm{kg}.

Passo 4

Fazer o balanço de energia para o sistema “ar no tanque”. Como não há trabalho de fronteira em volume rígido, e desprezamos energia cinética e potencial, vale
E_{2}-E_{1}=Q + m_{\mathrm{in}}\,h_{\mathrm{in}},
onde h_{\mathrm{in}} é a entalpia do ar que entra (linha a 20^\circ\mathrm{C}, 2\\ \mathrm{MPa}), e
E = m\,u,\quad u = c_{v}\,T,\quad h = c_{p}\,T.
Calculamos:
u_{1}=0{,}718\times293=210{,}5\;\mathrm{kJ/kg},\quad u_{2}=0{,}718\times308=221{,}3\;\mathrm{kJ/kg},
h_{\mathrm{in}}=1{,}005\times293=294{,}5\;\mathrm{kJ/kg}.
Então
E_{1}=m_{1}u_{1}=5{,}95\times210{,}5=1251\;\mathrm{kJ}, \quad E_{2}=m_{2}u_{2}=16{,}97\times221{,}3=3757\;\mathrm{kJ},
m_{\mathrm{in}}\,h_{\mathrm{in}}=11{,}02\times294{,}5=3245\;\mathrm{kJ}.
Despejando em
Q = E_{2}-E_{1}-m_{\mathrm{in}}\,h_{\mathrm{in}} =3757-1251-3245 \approx-739\;\mathrm{kJ}.

Resposta

Massa final de ar m_{2}\approx16{,}97\\ \mathrm{kg}.
Calor transferido Q\approx-739\\ \mathrm{kJ} (isto é, 739 kJ saem do sistema).

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