( ) 138. Quais são as quatro situações físicas diferentes possíveis que podemos esperar para a especificação da condição de contorno na extremidade da aleta?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre as possíveis condições de contorno físicas na extremidade livre de uma aleta de resfriamento. Vamos usar conceitos de transferência de calor em aletas (condução interna e convecção externa) e ver como se traduzem em condições de contorno para a equação diferencial de temperatura.

Passo 2

Condição de contorno de temperatura conhecida (Dirichlet)
Quando a ponta da aleta está presa a um reservatório térmico ou contato perfeito com outra superfície a uma temperatura fixa, impomos
T(L) = T_{\rm tip}\,.
Física: a ponta “vê” sempre a mesma temperatura.

Passo 3

Condição de contorno adiabática (Neumann)
Se o final da aleta é termo-isolado ou muito fino, desprezamos trocas de calor ali. Então
\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L} = 0\,.
Física: não há fluxo de calor saindo da ponta.

Passo 4

Condição de contorno convectiva (Robin)
Quando a ponta troca calor por convecção com o fluido ambiente, escrevemos o balanço
-k A_c \frac{dT}{dx}\Big|_{x=L} \;=\; h P \bigl[T(L)-T_\infty\bigr]\,,
onde h é coeficiente convectivo, P é perímetro, A_c área da seção e T_\infty temperatura do fluido. Física: convecção na ponta.

Passo 5

Aleta de comprimento efetivamente infinito
Se a aleta é longa de modo que L\to\infty, adotamos
T(x)\to T_\infty\quad\text{quando }x\to\infty.
Física: temperatura tende ao ambiente antes do fim real da aleta.

Resposta

  1. Ponta a temperatura fixa: \;T(L)=T_{\rm tip}.
  2. Ponta adiabática (isolada): \;dT/dx(L)=0.
  3. Ponta com convecção: -kA_c\frac{dT}{dx}\bigl|_{x=L}=hP\,[T(L)-T_\infty].
  4. Aleta infinita: T(x)\to T_\infty quando x\to\infty.

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