14.15 A 13-kg projectile is passing through the origin O with a velocity v0=(35 m / s) i when it explodes into two fragments A and B, of mass 5 kg and 8 kg , respectively. Knowing that 3 s later the position of fragment A is ( 90 m, 7 m,-14 m ), determine the position of fragment B at the same instant. Assume ay=-g=-9.81 m / s^2 and neglect air resistance.

Passo 1

O enunciado descreve uma explosão no instante t=0 em que um projétil de massa total m0=13 kg e velocidade inicial v0=(35 m/s),i se separa em dois fragmentos A (massa mA=5 kg) e B (massa mB=8 kg). Todos os fragmentos passam a sofrer apenas a aceleração gravitacional a=(0,-g,0) com g=9,81 m/s^2. Sabemos que, em t=3 s, o fragmento A está em (90,7,-14),m. Vamos (1) determinar a velocidade de A imediatamente após a explosão usando as equações do movimento sob aceleração constante e, em seguida, (2) aplicar conservação de momento linear para achar a velocidade de B. Por fim, (3) calcular a posição de B em t=3 s.

Passo 2

Para A vale a cinemática de movimento uniformemente acelerado a partir da origem:
rA(t) =vA,t+tfrac12,a,t^2 =(vAxt,;vAyt-tfrac12>^2,;vAzt)
Em t=3 s temos rA=(90,7,-14),m, logo
vAx=903=30 m/s, vAz=-143approx -4,667 m/s,
e para y satisfaz
3,vAy-tfrac12,(9,81),(3^2)=7 ;Longrightarrow; 3,vAy-44,145=7 ;Longrightarrow; vAy=51,1453approx17,048 m/s
Assim vAapprox(30,;17,048,;-4,667),m/s.

Passo 3

No instante da explosão, a quantidade de movimento total se conserva:
m0,v0 =mA,vA+mB,vB ;Longrightarrow; vB =m0,v0-mA,vAmB
Calculando vetorialmente,
m0,v0=(13)(35,0,0)=(455,0,0), mA,vAapprox(5)(30,17,048,-4,667)=(150,85,24,-23,333),
m0v0-mAvAapprox(455-150,;0-85,24,;0+23,333)=(305,-85,24,23,333),
vBapprox18(305,-85,24,23,333) approx(38,125,;-10,655,;2,917) m/s

Passo 4

Agora aplicamos a mesma cinemática a B em t=3 s:
rB(3) =vB,3+tfrac12,a,3^2 =l(vBxcdot3,;vBycdot3-tfrac12 gcdot9,;vBzcdot3r)
Substituindo:
xB=38,125times3=114,375 m, yB=-10,655times3-44,145approx-31,965-44,145=-76,110 m, zB=2,917times3=8,750 m

Resposta

(xB,yB,zB)approx(114,375,,-76,110,;8,750) m

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