*13.79 Prove that a force
is conservative if, and only if, the following relations are satisfied:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um campo de forças
é conservativo (isto é, existe potencial escalar
tal que
) se, e somente se, as igualdades
forem satisfeitas.
Matéria: cálculo vetorial, condição de integrabilidade (curl nulo) e existência de potencial.
Matéria: cálculo vetorial, condição de integrabilidade (curl nulo) e existência de potencial.
Passo 2
Mostramos primeiro que se
é conservativo então as igualdades valem.
Como , temos
Como
Pelo teorema de Clairaut, as segundas derivadas mistas de
são iguais:
e analogamente para os outros pares de componentes.
Passo 3
Agora suponha que as três igualdades das derivadas cruzadas valem em um domínio simplesmente conexo (por exemplo
). Vamos construir um potencial
definindo-o por uma integral de linha entre um ponto-base fixo
e
.
Escolhendo um caminho em três segmentos ortogonais, definimos
Escolhendo um caminho em três segmentos ortogonais, definimos
Graças às igualdades das derivadas parciais, pode-se mostrar que essa definição não depende do caminho escolhido (qualquer laço fechado dá integral zero), garantindo que
esteja bem definida.
Passo 4
Verificamos que
realmente gera
. Por exemplo, usando diferenciação sob o sinal de integral,
O primeiro termo dá
e os demais, usando as condições de igualdade das derivadas cruzadas, somam as correções necessárias para resultar em
. De modo análogo obtemos
e
.
Portanto e
é conservativo.
Portanto
Resposta
O campo
é conservativo se, e somente se,