*13.79 Prove that a force is conservative if, and only if, the following relations are satisfied:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um campo de forças F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz) é conservativo (isto é, existe potencial escalar phi tal que F=nablaphi) se, e somente se, as igualdades
partial Fxpartial y=partial Fypartial x, partial Fypartial z=partial Fzpartial y, partial Fzpartial x=partial Fxpartial z
forem satisfeitas.
Matéria: cálculo vetorial, condição de integrabilidade (curl nulo) e existência de potencial.

Passo 2

Mostramos primeiro que se F é conservativo então as igualdades valem.
Como F=nablaphi, temos
Fx=partialphipartial x, Fy=partialphipartial y, Fz=partialphipartial z
Pelo teorema de Clairaut, as segundas derivadas mistas de phi são iguais:
partial Fxpartial y =partialpartial yl(partialphipartial xr) =partial^2phipartial y,partial x =partial^2phipartial x,partial y =partialpartial xl(partialphipartial yr) =partial Fypartial x,
e analogamente para os outros pares de componentes.

Passo 3

Agora suponha que as três igualdades das derivadas cruzadas valem em um domínio simplesmente conexo (por exemplo R^3). Vamos construir um potencial
phi(x,y,z) definindo-o por uma integral de linha entre um ponto-base fixo (x0,y0,z0) e (x,y,z).
Escolhendo um caminho em três segmentos ortogonais, definimos
phi(x,y,z) =integralx0^xFx(t,y0,z0),dt +integraly0^yFy(x,t,z0),dt +integralz0^zFz(x,y,t),dt
Graças às igualdades das derivadas parciais, pode-se mostrar que essa definição não depende do caminho escolhido (qualquer laço fechado dá integral zero), garantindo que phi esteja bem definida.

Passo 4

Verificamos que phi realmente gera F. Por exemplo, usando diferenciação sob o sinal de integral,
partialphipartial x =ddxl[ integralx0^xFx(t,y0,z0),dt r] +partialpartial x l[ integraly0^yFy(x,t,z0),dt +integralz0^zFz(x,y,t),dt r]
O primeiro termo dá Fx(x,y0,z0) e os demais, usando as condições de igualdade das derivadas cruzadas, somam as correções necessárias para resultar em Fx(x,y,z). De modo análogo obtemos
partialphi/partial y=Fy e partialphi/partial z=Fz.
Portanto nablaphi=F e F é conservativo.

Resposta

O campo F é conservativo se, e somente se,
partial Fxpartial y=partial Fypartial x, partial Fypartial z=partial Fzpartial y, partial Fzpartial x=partial Fxpartial z

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