14.51 A pressão manométrica máxima é de 8 MPa em um vaso de pressão esférico com diâmetro externo de 250 mm e espessura de parede de 6 mm . Sabendo que o limite de tensão no aço utilizado é \sigma_{L}=400 \mathrm{MPa}, determine o coeficiente de segurança em relação à falha por tração.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • pressão manométrica máxima: p=8\\ \mathrm{MPa};
    • diâmetro externo da esfera: d_{ext}=250\\ \mathrm{mm};
    • espessura da parede: t=6\\ \mathrm{mm};
    • limite de tensão do aço (tensão admissível): \sigma_{L}=400\\ \mathrm{MPa}.
  • O que a questão pede:
    • determinar o coeficiente de segurança (fator de segurança) em relação à falha por tração, isto é, calcular
    N=\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{\mathrm{ação}}},çã
    onde \sigma_{\mathrm{ação}}çã é a tensão de tração gerada pela pressão interna no vaso esférico.

Passo 2

Converter unidades e obter o raio interno da esfera (porque a tensão de membrana usa o raio interno).
  • O enunciado deu d_{ext}=250\\ \mathrm{mm} e parede t=6\\ \mathrm{mm}. O diâmetro interno é
d_{int}=d_{ext}-2t=250-2\cdot6=238\\ \mathrm{mm}.
  • O raio interno vale
r=\frac{d_{int}}{2}=\frac{238}{2}=119\\ \mathrm{mm}=0,119\\ \mathrm{m}.
  • A espessura em metros é
t=6\\ \mathrm{mm}=0,006\\ \mathrm{m}.
  • A pressão em unidades SI é
p=8\\ \mathrm{MPa}=8{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Verificar se a hipótese de casca fina (thin-walled) é aceitável.
  • A condição usual é r/t>10. Aqui
\frac{r}{t}=\frac{0{,}119}{0{,}006}\approx19{,}83>10,
logo podemos usar a fórmula de casca esférica fina (tensão de membrana).

Passo 4

Apresentar e justificar a fórmula usada para a tensão em uma casca esférica submetida a pressão interna.
  • Equilíbrio da metade da esfera (física simples): a força resultante da pressão sobre a seção circular ( p\pi r^{2}) é equilibrada pela força de tração na parede ( 2\pi r t \sigma). Igualando:
p\pi r^{2}=2\pi r t \sigma \quad\Rightarrow\quad \sigma=\frac{p r}{2 t}.
  • Explicando cada símbolo:
    • p: pressão interna (manométrica) atuando sobre a superfície interna;
    • r: raio interno da esfera;
    • t: espessura da parede;
    • \sigma: tensão de tração (membrana) na parede.

Passo 5

Calcular numericamente a tensão de ação \sigma_{\mathrm{ação}}çã.
  • Usando \sigma=\dfrac{p r}{2 t}:
\sigma_{\mathrm{ação}}=\frac{(8{,}0\times10^{6})(0{,}119)}{2\cdot0{,}006}.çã
  • Calcule passo a passo:
    • p r=(8{,}0\times10^{6})\cdot0{,}119=952000\\ \mathrm{Pa\cdot m};
    • 2t=2\cdot0{,}006=0{,}012\\ \mathrm{m};
    • \sigma_{\mathrm{ação}}=\dfrac{952000}{0{,}012}=79{,}333\,333\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=79{,}33\\ \mathrm{MPa}.çã

Passo 6

Calcular o coeficiente de segurança N e interpretar.
  • Definição:
N=\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{\mathrm{ação}}}.çã
  • Substituindo os valores:
N=\frac{400\\ \mathrm{MPa}}{79{,}33\\ \mathrm{MPa}}\approx5{,}04.
  • Interpretação curta e encorajadora: o fator de segurança é aproximadamente 5, ou seja, a tensão de ruptura é cerca de cinco vezes maior que a tensão gerada pela pressão máxima — portanto há margem de segurança razoável para essa solicitação (lembrando que outros modos de falha e fatores de projeto também devem ser considerados em projeto real).

Resposta

N\approx5{,}04

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