(1 ponto) O carro B faz uma curva de tal maneira que sua velocidade escalar é aumentada na razão de \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3 e^{t}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde t é dado em segundos. Se um carro parte do repouso quando \theta=0^{\circ}, determine as intensidades da sua velocidade e aceleração quando o braço AB gira \theta=45^{\circ}. Despreze a dimensão do carro. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.18 p. 34)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dado: a aceleração tangencial do carro B é
\left(a_{t}\right)_{B}=0,3\,e^{t}\\ \text{m/s}^2,
onde t está em segundos.
  • Condição inicial: o carro parte do repouso quando \theta=0^\circ. Ou seja, no instante inicial t=0 tem-se v(0)=0 e \theta(0)=0.
  • Pedido: determinar as intensidades (módulos) da velocidade e da aceleração do carro quando o braço AB gira até \theta=45^\circ.
Informação importante que falta no enunciado fornecido: o comprimento do braço AB (ou seja, o raio r da trajetória circular de B). Essa informação é necessária porque a componente normal da aceleração depende de r. Se o enunciado original da prova/figura fornecia AB, é preciso usar esse valor; como aqui ele não foi fornecido, a resposta numérica final não pode ser obtida sem r. Vou, portanto, fazer a resolução simbólica (em função de r) e mostrar como obter o valor numérico assim que r for conhecido.

Passo 2

Primeiro: achar v(t) a partir de a_t(t). Lembre que a aceleração tangencial é a taxa de variação da velocidade escalar ao longo do tempo:
a_t=\frac{dv}{dt}.
Portanto integramos a_t(t) para obter v(t). Integrando
\frac{dv}{dt}=0,3\,e^{t}
temos
v(t)=\int 0,3\,e^{t}\,dt=0,3\,e^{t}+C.
Usando a condição inicial v(0)=0 obtemos
0=v(0)=0,3\,e^{0}+C=0,3+C\quad\Rightarrow\quad C=-0,3.
Logo a velocidade escalar em função do tempo é
\boxed{\,v(t)=0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\\ \text{m/s}\,}.
Explicação didática curta: integrar e^{t} retorna e^{t}. A constante de integração é fixada pela condição inicial (partida do repouso).

Passo 3

Agora, componente normal (centrípeta) e a aceleração total. Para movimento circular de raio r com velocidade escalar v valem as fórmulas:
  • aceleração tangencial: a_t=\dfrac{dv}{dt} (já dada),
  • aceleração normal (centrípeta): a_n=\dfrac{v^2}{r},
  • magnitude da aceleração total: a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}.
Substituindo v(t) e a_t(t) obtemos
a_t(t)=0,3\,e^{t}, \qquad a_n(t)=\frac{v(t)^2}{r}=\frac{\bigl[0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\bigr]^2}{r}=\frac{0,09\bigl(e^{t}-1\bigr)^2}{r}.
Portanto a intensidade da aceleração total é
\boxed{\,a(t)=\sqrt{\bigl(0,3\,e^{t}\bigr)^{2}+\left(\dfrac{0,09\bigl(e^{t}-1\bigr)^2}{r}\right)^{2}}\\ \text{m/s}^2\,}.
Comentário prático: para calcular numericamente a precisa-se do valor de r. Note que a_n cresce com v^2 e diminui com r; braços maiores dão menor centrípeta.

Passo 4

Precisamos avaliar v e a quando \theta=45^\circ. Para relacionar \theta e t usamos a cinemática angular. Tem-se
v=r\omega\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{r}.
E \omega=d\theta/dt. Assim
\theta(t)=\int_{0}^{t}\omega(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}\frac{v(\tau)}{r}\,d\tau.
Substituindo v(\tau)=0,3\bigl(e^{\tau}-1\bigr) obtemos
\theta(t)=\frac{1}{r}\int_{0}^{t}0,3\bigl(e^{\tau}-1\bigr)\,d\tau =\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr),
onde foi usada a integral \int (e^{\tau}-1)\,d\tau = e^{\tau}-\tau.
Queremos o instante t_{*} tal que \theta(t_{*})=45^\circ=\pi/4 rad. Logo t_{*} satisfaz
\boxed{\;\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t_{*}}-t_{*}-1\bigr)=\frac{\pi}{4}\; }.
Isto é uma equação transcendental para t_{*}: não tem solução em termos de funções elementares; deve-se resolver numericamente (por exemplo por método de Newton, bisseção, etc.) uma vez conhecido r.
Para quem quiser usar Newton: defina
f(t)=\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr)-\frac{\pi}{4}, \qquad f'(t)=\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-1\bigr).
A iteração de Newton é
t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}.
Escolha t_0 razoável (por exemplo t_0=1) e itere até convergir.

Passo 5

Resumo prático: assim que o comprimento do braço AB (ou seja r) for conhecido, proceda assim:
  1. resolva numericamente \dfrac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr)=\dfrac{\pi}{4} para obter t_{*};
  2. calcule a velocidade
v(t_{*})=0,3\bigl(e^{t_{*}}-1\bigr)\\ \text{m/s};
  1. calcule a aceleração total
a(t_{*})=\sqrt{\bigl(0,3\,e^{t_{*}}\bigr)^{2}+\left(\dfrac{0,09\bigl(e^{t_{*}}-1\bigr)^2}{r}\right)^{2}}\\ \text{m/s}^2.
Se desejar, posso agora:
  • (A) resolver numericamente para t_{*}, v(t_{*}) e a(t_{*}) assumindo um valor de r (por exemplo r=2\\ \text{m}) só para demonstrar o cálculo; ou
  • (B) aguardar que me informe o valor de AB (o r) para fornecer os números exatos.
    Diga qual opção prefere que eu execute.

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos de velocidade e aceleração quando \theta=45^\circ porque falta o comprimento do braço AB (o raio r) no enunciado.
As fórmulas gerais são:
v(t)=0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\\ \text{m/s}.
a(t)=\sqrt{\bigl(0,3\,e^{t}\bigr)^{2}+\left(\dfrac{0,09\bigl(e^{t}-1\bigr)^2}{r}\right)^{2}}\\ \text{m/s}^2.
O instante t_{*} correspondente a \theta=45^\circ é a solução de
\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t_{*}}-t_{*}-1\bigr)=\frac{\pi}{4},
que deve ser resolvida numericamente após especificar r.

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