(1 ponto) O carro B faz uma curva de tal maneira que sua velocidade escalar é aumentada na razão de \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3 e^{t}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde t é dado em segundos. Se um carro parte do repouso quando \theta=0^{\circ}, determine as intensidades da sua velocidade e aceleração quando o braço AB gira \theta=45^{\circ}. Despreze a dimensão do carro. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.18 p. 34)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dado: a aceleração tangencial do carro B é
\left(a_{t}\right)_{B}=0,3\,e^{t}\\ \text{m/s}^2,
onde t está em segundos.
Condição inicial: o carro parte do repouso quando \theta=0^\circ. Ou seja, no instante inicial t=0 tem-se v(0)=0 e \theta(0)=0.
Pedido: determinar as intensidades (módulos) da velocidade e da aceleração do carro quando o braço AB gira até \theta=45^\circ.
Informação importante que falta no enunciado fornecido: o comprimento do braço AB (ou seja, o raio r da trajetória circular de B). Essa informação é necessária porque a componente normal da aceleração depende de r. Se o enunciado original da prova/figura fornecia AB, é preciso usar esse valor; como aqui ele não foi fornecido, a resposta numérica final não pode ser obtida sem r. Vou, portanto, fazer a resolução simbólica (em função de r) e mostrar como obter o valor numérico assim que r for conhecido.
Passo 2
Primeiro: achar v(t) a partir de a_t(t). Lembre que a aceleração tangencial é a taxa de variação da velocidade escalar ao longo do tempo:
a_t=\frac{dv}{dt}.
Portanto integramos a_t(t) para obter v(t). Integrando
Comentário prático: para calcular numericamente a precisa-se do valor de r. Note que a_n cresce com v^2 e diminui com r; braços maiores dão menor centrípeta.
Passo 4
Precisamos avaliar v e a quando \theta=45^\circ. Para relacionar \theta e t usamos a cinemática angular. Tem-se
Isto é uma equação transcendental para t_{*}: não tem solução em termos de funções elementares; deve-se resolver numericamente (por exemplo por método de Newton, bisseção, etc.) uma vez conhecido r.
(A) resolver numericamente para t_{*}, v(t_{*}) e a(t_{*}) assumindo um valor de r (por exemplo r=2\\ \text{m}) só para demonstrar o cálculo; ou
(B) aguardar que me informe o valor de AB (o r) para fornecer os números exatos.
Diga qual opção prefere que eu execute.
Resposta
Não é possível fornecer os valores numéricos de velocidade e aceleração quando \theta=45^\circ porque falta o comprimento do braço AB (o raio r) no enunciado.
As fórmulas gerais são: