Deseja-se comparar duas areias utilizadas em duas fases distintas de uma obra. A areia A apresentava um índice de vazios igual a 0,72 e a areia B tinha \mathrm{e}=0,64. É possível, com base nessas informações, dizer qual das duas esta mais compacta? Nas condições naturais uma amostra de solo possui uma massa de 2290 g e um volume de 1,15 \times 10-3 \mathrm{~m}^{3}. Depois de seco em estufa a massa da amostra é 2035 g . O valor de massa específica dos grãos é 2,68 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine a massa específica aparente, o peso específico aparente, o teor de umidade, o índice de vazios, a porosidade e o grau de saturação da amostra.

Passo 1

O enunciado dá duas informações independentes e pede coisas diferentes. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados imediatos para comparação das areias:
  • Areia A: índice de vazios \,e_A=0,72.
  • Areia B: índice de vazios \,e_B=0,64.
    Pergunta 1: qual das duas está mais compacta?
Dados da amostra (condições naturais):
  • Massa natural da amostra: m_{\text{nat}}=2290\\ \mathrm{g}.
  • Volume da amostra: V=1,15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}. (peguei este valor do enunciado)
  • Massa após secagem em estufa (massa seca): m_{\text{seco}}=2035\\ \mathrm{g}.
  • Massa específica dos grãos: \rho_s=2,68\\ \mathrm{g/cm^3}. (peguei este valor do enunciado)
O que é pedido para a amostra:
  • massa específica aparente (densidade aparente) \rho;
  • peso específico aparente \gamma;
  • teor de umidade w;
  • índice de vazios e;
  • porosidade n;
  • grau de saturação S_r.
Observação: todos os passos de cálculo serão feitos passo a passo e com explicação das fórmulas e de cada variável, para que dê para reproduzir na prova.

Passo 2

Cálculo da massa de água e do teor de umidade w. Explicação e fórmulas:
  • A massa de água presente na amostra natural é a diferença entre a massa natural e a massa seca:
m_w = m_{\text{nat}} - m_{\text{seco}}.
  • O teor de umidade w (em razão) é dado por
w=\frac{m_w}{m_{\text{seco}}}.
Aqui m_w é a massa de água (em kg ou g) e m_{\text{seco}} é a massa dos sólidos secos. É comum expressar w como porcentagem multiplicando por 100\%.
Aplicando os números (faço as contas com unidades consistentes):
m_w = 2290\\ \mathrm{g} - 2035\\ \mathrm{g} = 255\\ \mathrm{g}.
w=\frac{255\\ \mathrm{g}}{2035\\ \mathrm{g}} \approx 0,1253 = 12,53\%.
Interpretação curta: isto significa que há cerca de 12,53\% de água em massa relativa à massa seca dos grãos.

Passo 3

Cálculo da massa específica aparente (densidade aparente) \rho. Explicação:
  • A massa específica aparente é a massa total (natural) dividida pelo volume total:
\rho=\frac{m_{\text{nat}}}{V}.
Aqui m_{\text{nat}} em kg e V em \mathrm{m^3} \rho em \mathrm{kg/m^3}.
Conversão de unidades e cálculo:
m_{\text{nat}}=2290\\ \mathrm{g}=2,290\\ \mathrm{kg}, \qquad V=1,15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
\rho=\frac{2,290\\ \mathrm{kg}}{1,15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}} \approx 1991,3\\ \mathrm{kg/m^3}.
Também é útil em \mathrm{g/cm^3}:
\rho \approx 1,991\\ \mathrm{g/cm^3}.
Dica de prova: sempre converta massas para kg quando o volume está em \mathrm{m^3}; senão faça tudo em unidades compatíveis.

Passo 4

Cálculo do peso específico aparente \gamma. Explicação:
  • O peso específico é a densidade vezes a gravidade:
\gamma = \rho\, g,
onde g é a aceleração da gravidade (usar g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}). O resultado fica em \mathrm{N/m^3}, muitas vezes expresso em \mathrm{kN/m^3}.
Cálculo:
\gamma = 1991,3\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9,81\\ \mathrm{m/s^2} \approx 19532,6\\ \mathrm{N/m^3}\approx 19,53\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 5

Cálculo do volume dos sólidos V_s, volume de vazios V_v e índice de vazios e. Explicação das fórmulas:
  • O volume dos sólidos é a massa seca dividida pela massa específica dos grãos (converter \rho_s para \mathrm{kg/m^3}):
V_s=\frac{m_{\text{seco}}}{\rho_s}.
Aqui m_{\text{seco}} deve estar em kg e \rho_s em \mathrm{kg/m^3}.
  • O volume de vazios é o volume total menos o volume dos sólidos:
V_v = V - V_s.
  • O índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios e o volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Conversões e cálculos:
m_{\text{seco}}=2035\\ \mathrm{g}=2,035\\ \mathrm{kg}.
\rho_s=2,68\\ \mathrm{g/cm^3}=2680\\ \mathrm{kg/m^3}.
V_s=\frac{2,035\\ \mathrm{kg}}{2680\\ \mathrm{kg/m^3}}\approx 0,00075970\\ \mathrm{m^3}.
V_v = 1,15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3} - 0,00075970\\ \mathrm{m^3} \approx 0,00039030\\ \mathrm{m^3}.
e=\frac{0,00039030}{0,00075970}\approx 0,5140.
Interpretação: o índice de vazios e é adimensional e diz quantos volumes de vazios existem por unidade de volume de sólidos.

Passo 6

Cálculo da porosidade n. Explicação:
  • A porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_v}{V}.
Também vale a relação útil
n=\frac{e}{1+e}.
Cálculo numérico:
n=\frac{0,00039030}{1,15\times10^{-3}}\approx 0,3394 \quad\text{(ou }33,94\%\text{)}.

Passo 7

Cálculo do grau de saturação S_r. Explicação:
  • O grau de saturação é a fração do volume de vazios ocupada pela água:
S_r=\frac{V_w}{V_v},
onde V_w é o volume de água. Uma fórmula prática, muito usada, relaciona S_r com w, G_s (gravidade específica dos grãos) e e:
S_r=\frac{w\,G_s}{e}.
Aqui w é o teor de umidade em razão (não em %), e G_s é adimensional e igual a \rho_s/\rho_w. Como \rho_w=1,0\\ \mathrm{g/cm^3}, para este problema G_s=2,68.
Cálculo pelo volume de água:
V_w=\frac{m_w}{\rho_w}=\frac{255\\ \mathrm{g}}{1000\\ \mathrm{g/L}}=\frac{0,255\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{kg/m^3}}=0,000255\\ \mathrm{m^3}.
(mais simples: 255\\ \mathrm{g}=0,255\\ \mathrm{kg} e \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.)
S_r=\frac{0,000255}{0,00039030}\approx 0,6533 = 65,33\%.
Verificação pela fórmula alternativa:
w\approx 0,1253,\quad G_s=2,68,\quad e\approx 0,5140,
S_r=\frac{0,1253\times 2,68}{0,5140}\approx 0,653\\ (\text{mesmo resultado, bom sinal}).

Passo 8

Resposta à primeira pergunta (comparação de areias) e interpretação física rápida:
  • Entre dois solos/areias, quanto menor o índice de vazios e, mais compacto está o material, porque há menos volume de vazios por volume de sólidos.
  • Como \,e_A=0,72 e \,e_B=0,64, a areia B tem menor índice de vazios e, portanto, está mais compacta do que a areia A.
Explicação didática curta: pensa assim — se e é grande há muito espaço vazio entre os grãos; se e é menor os grãos estão mais “apertados”.

Resposta

Areia mais compacta: Areia B (porque e_B=0,64<e_A=0,72).
Massa específica aparente: \rho \approx 1991,3\\ \mathrm{kg/m^3} (ou \approx 1,991\\ \mathrm{g/cm^3}).
Peso específico aparente: \gamma \approx 19,53\\ \mathrm{kN/m^3}.
Teor de umidade: w \approx 12,53\%.
Índice de vazios: e \approx 0,514.
Porosidade: n \approx 0,339 (ou 33,9\%).
Grau de saturação: S_r \approx 0,653 (ou 65,3\%).

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