14.1
Discuta as etapas envolvidas na construção dos orbitais híbridos s p^{3}, s p^{2} e s p.

Passo 1

O enunciado pede que eu discuta, passo a passo, as etapas envolvidas na construção dos orbitais híbridos s p^{3}, s p^{2} e s p.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Devemos explicar como formar cada conjunto de híbridos a partir dos orbitais atômicos s e p.
  • Espera-se que eu apresente a forma das combinações lineares, verifique normalização e ortogonalidade e descreva a geometria resultante (ângulos e orientação) e os orbitais não hibridizados restantes, quando houver.
  • Presumo as propriedades padrão dos orbitais atômicos: \langle s|s\rangle=1, \langle p_i|p_j\rangle=\delta_{ij} e \langle s|p_i\rangle=0 (ortonormalidade dos orbitais básicos).

Passo 2

Conceito e estratégia geral (a “receita” para construir híbridos):
  1. Partimos dos orbitais atômicos básicos relevantes: o orbital s e os três p ( p_x,p_y,p_z). Esses orbitais são ortonormais entre si.
  2. Os híbridos são combinações lineares (LCAO) do tipo
h = c_s\,s + c_x\,p_x + c_y\,p_y + c_z\,p_z,
onde c_s,c_x,c_y,c_z são coeficientes reais que determinam forma e direção do híbrido.
3. Impomos três condições principais para escolher os coeficientes:
  • Normalização: \langle h|h\rangle=1 leva a c_s^2+c_x^2+c_y^2+c_z^2=1.
  • Ortogonalidade entre híbridos diferentes: \langle h_i|h_j\rangle=0 para i\neq j.
  • Equivalência geométrica desejada: os híbridos devem ser equivalentes em energia e apontar em direções que reproduzam a geometria molecular (tetraédrica, trigonal plana, linear).
  1. Usamos simetria/geométrica para fixar as direções dos vetores (c_x,c_y,c_z) (por exemplo, apontando para vértices de tetraedro, ângulos 120^\circ no plano, ou direções opostas 180^\circ).
  2. Resolver as equações acima dá os coeficientes numéricos simples que veremos abaixo. Também comentar o aspecto energético: muitas vezes há promoção de elétron s\to p em átomos como o carbono para obter elétrons suficientes para formar os híbridos; isso é um ponto qualitativo importante.

Passo 3

Construção do s p^{3} (4 híbridos, geometria tetraédrica):
  1. Objetivo: obter quatro híbridos equivalentes apontando para os quatro vértices de um tetraedro (ângulos entre eles \;109,5^\circ). Usamos s,p_x,p_y,p_z.
  2. Fazemos combinações com coeficientes iguais em módulo para garantir equivalência. Uma escolha conveniente (padrão) é:
\begin{aligned} h_1 &= \tfrac{1}{2}\,s + \tfrac{1}{2}\,p_x + \tfrac{1}{2}\,p_y + \tfrac{1}{2}\,p_z,\\\ h_2 &= \tfrac{1}{2}\,s + \tfrac{1}{2}\,p_x - \tfrac{1}{2}\,p_y - \tfrac{1}{2}\,p_z,\\\ h_3 &= \tfrac{1}{2}\,s - \tfrac{1}{2}\,p_x + \tfrac{1}{2}\,p_y - \tfrac{1}{2}\,p_z,\\\ h_4 &= \tfrac{1}{2}\,s - \tfrac{1}{2}\,p_x - \tfrac{1}{2}\,p_y + \tfrac{1}{2}\,p_z. \end{aligned}
  1. Verificação de normalização (usando ortonormalidade dos básicos): para h_1,
\langle h_1|h_1\rangle = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2\big(\langle s|s\rangle+\langle p_x|p_x\rangle+\langle p_y|p_y\rangle+\langle p_z|p_z\rangle\big)=\tfrac{1}{4}\cdot 4 =1.
Logo h_1 está normalizado; análogo para os outros h_i.
4. Verificação de ortogonalidade (exemplo h_1 com h_2):
\langle h_1|h_2\rangle = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2\big(1 + 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\big)=\tfrac{1}{4}(1+1-1-1)=0.
Portanto são ortogonais. (Mesma ideia para quaisquer pares.)
5. Geometria: os vetores de componentes (c_x,c_y,c_z) correspondem a vetores espaciais que apontam para os vértices de um tetraedro; o ângulo entre quaisquer dois híbridos é \;109,5^\circ.
6. Interpretação química: o átomo precisa de quatro orbitais para formar quatro ligações sigma (ex.: carbono em CH _4). Se necessário, a promoção s\to p fornece elétrons desemparelhados para ocupar estes quatro híbridos.

Passo 4

Construção do s p^{2} (3 híbridos, geometria trigonal plana):
  1. Objetivo: obter três híbridos equivalentes no mesmo plano, separados por \;120^\circ. Usamos s,p_x,p_y; o p_z permanece não hibridizado (importante para ligações \pi).
  2. Fazemos híbridos do tipo
h_k = a\,s + b\big(\cos\theta_k\,p_x + \sin\theta_k\,p_y\big),
com \theta_k=0^\circ,120^\circ,240^\circ para k=1,2,3. Precisamos determinar a e b.
3. Condições: normalização a^2+b^2=1. Ortogonalidade entre h_1 e h_2 (diferença de ângulo 120^\circ) dá
\langle h_1|h_2\rangle = a^2 + b^2\cos(120^\circ)=0.
Como \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}, obtemos
a^2 - \tfrac{1}{2}b^2 =0 \quad\Rightarrow\quad a^2=\tfrac{1}{2}b^2.
Com a^2+b^2=1 substituindo b^2=2a^2 obtemos 3a^2=1, logo
a=\tfrac{1}{\sqrt{3}},\qquad b=\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
  1. Portanto os híbridos explícitos são
\begin{aligned} h_1 &= \tfrac{1}{\sqrt{3}}\,s + \sqrt{\tfrac{2}{3}}\,p_x,\\[4pt] h_2 &= \tfrac{1}{\sqrt{3}}\,s + \sqrt{\tfrac{2}{3}}\left(-\tfrac{1}{2}p_x + \tfrac{\sqrt{3}}{2}p_y\right),\\[4pt] h_3 &= \tfrac{1}{\sqrt{3}}\,s + \sqrt{\tfrac{2}{3}}\left(-\tfrac{1}{2}p_x - \tfrac{\sqrt{3}}{2}p_y\right). \end{aligned}
(Estas formas correspondem a \theta=0^\circ,120^\circ,240^\circ.)
5. Verificações: com os valores acima cada h_k está normalizado e híbridos distintos são ortogonais — as contas seguem a mesma rotina do passo anterior, usando \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}.
6. Geometria e química: os três híbridos ficam no plano com ângulos \;120^\circ. O p não hibridizado (aqui p_z) fica perpendicular ao plano e pode formar ligações \pi (ex.: carbono em C=C na eteno). Exemplo prático: em eteno cada carbono tem três sp^2 que formam ligações sigma e um p não hibridizado que participa da ligação \pi.]

Passo 5

Construção do s p (2 híbridos, geometria linear):
  1. Objetivo: obter dois híbridos equivalentes em linha (direções opostas, ângulo \;180^\circ). Usamos s e um p (digamos p_z); os outros dois p ( p_x,p_y) permanecem sem hibridizar e ficam perpendiculares ao eixo da ligação, podendo formar \pi-ligações.
  2. Tomamos as combinações
h_1 = a\,s + b\,p_z,\qquad h_2 = a\,s - b\,p_z.
  1. Ortogonalidade \langle h_1|h_2\rangle = a^2 - b^2 =0 implica a^2=b^2. Normalização a^2+b^2=1 então dá 2a^2=1, logo
a=b=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
  1. Assim os híbridos são
h_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,s + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,p_z,\qquad h_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,s - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,p_z.
Estão normalizados e são ortogonais.
5. Geometria e química: os dois sp ficam colineares (ângulo \;180^\circ), formando as ligações sigma principais (ex.: carbono em C≡C no acetileno). Os dois p restantes formam dois conjuntos de orbitais perpendiculares que podem gerar duas ligações \pi, resultando em ligação tripla.

Passo 6

Conselhos práticos para a prova (como fazer rapidamente e sem fugir ao enunciado):
  1. Sempre comece lembrando que os híbridos são combinações lineares de s e alguns p. Liste quais p entram (todos para sp^3; dois para sp^2; um para sp).
  2. Use simetria geométrica para escolher sinais e razões entre coeficientes (igualmente distribuídos dá coeficientes iguais em módulo).
  3. Imponha normalização e ortogonalidade para achar os coeficientes numéricos. Ao ver ângulos de 120^\circ usar \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2} — isso leva direto aos coeficientes a=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, b=\sqrt{\tfrac{2}{3}} para sp^2. Para sp^3 lembrar do fator \tfrac{1}{2}. Para sp lembrar do fator \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
  4. Verifique sempre se há orbitais p não hibridizados — isto explica ligações \pi em moléculas reais.
  5. Se pedirem só a geometria, cite os ângulos: sp^3\to 109,5^\circ, sp^2\to 120^\circ, sp\to 180^\circ. Se pedirem expressão matemática, escreva as combinações mostradas nos passos anteriores.
  6. Mantenha na prova as suposições: orbitais atômicos básicos ortonormais; mistura é linear; sinais dos coeficientes determinam a orientação espacial.

Resposta

sp^{3}: quatro híbridos equivalentes
h_1=\tfrac{1}{2}s+\tfrac{1}{2}p_x+\tfrac{1}{2}p_y+\tfrac{1}{2}p_z,\\ \ldots
ângulo \;109,5^\circ; normalizados e ortogonais; exemplo CH _4.
sp^{2}: três híbridos no plano
h_k=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,s+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\big(\cos\theta_k\,p_x+\sin\theta_k\,p_y\big),
com \theta_k=0^\circ,120^\circ,240^\circ; ângulo \;120^\circ; p_z não hibridizado para \pi-ligações; exemplo C=C (eteno).
sp: dois híbridos colineares
h_{1,2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,s\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,p_z,
ângulo \;180^\circ; dois p não hibridizados formam duas \pi-ligações; exemplo C#C (acetileno).

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