14- Um elétron, no primeiro estado quântico do átomo de hidrogênio, possui velocidade igual a 2,0 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. A massa do elétron é 9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, e a constante de Planck é 6,6 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}. Qual o comprimento de onda dado pela equação de De Broglie desse elétron, em metro?

Passo 1

O enunciado dá um elétron no primeiro estado do átomo de hidrogênio com velocidade \,2,0\times 10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}}. Também fornece a massa do elétron \,9,1\times 10^{-31}\,\mathrm{kg} e a constante de Planck \,6,6\times 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}. A pergunta é: qual o comprimento de onda desse elétron segundo a relação de De Broglie, em metros?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\quad velocidade: \,v=2,0\times 10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}}
\quad massa do elétron: \,m=9,1\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}
\quad constante de Planck: \,h=6,6\times 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}
O que precisamos calcular: o comprimento de onda \lambda associado ao elétron.

Passo 2

Apresento a fórmula de De Broglie e explico cada termo. A relação de De Broglie diz que a onda associada a uma partícula com momento linear \,p tem comprimento de onda
\lambda=\frac{h}{p}.
Aqui:
\quad \lambda é o comprimento de onda que queremos (em metros).
\quad \,h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\,s}).
\quad \,p é o momento linear da partícula (unidade: \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}).
Para uma partícula não relativística (velocidade muito menor que a da luz), o momento é \,p=m v, onde \,m é a massa e \,v a velocidade. No nosso caso podemos usar p=m v porque v=2,0\times10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}} é muito menor que a velocidade da luz. Assim:
\lambda=\frac{h}{m v}.

Passo 3

Vou checar as unidades para você ganhar confiança:
\,h tem unidade \mathrm{J\,s}=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}.
\,m v tem unidade \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m\,s^{-1}}=\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
Dividindo, \lambda tem unidade \mathrm{m}, exatamente o que queremos. Boa notícia: a fórmula está consistente em unidades.

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos dados na fórmula. Escrevo primeiro o produto m v no denominador:
m v = \left(9,1\times10^{-31}\right)\left(2,0\times10^{6}\right).
Faço a multiplicação separando coeficientes e potências de 10: coeficientes 9,1\cdot 2,0 = 18,2. Potências: 10^{-31}\cdot10^{6}=10^{-25}. Logo
m v = 18,2\times10^{-25}.
Para ficar na forma padrão (um coeficiente entre 1 e 10), escrevo
m v = 1,82\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.

Passo 5

Agora calculo \lambda pela divisão:
\lambda=\frac{6,6\times10^{-34}}{1,82\times10^{-24}}.
Separe a divisão em coeficientes e potências de 10:
\lambda=\left(\frac{6,6}{1,82}\right)\times10^{-34-(-24)}=\left(\frac{6,6}{1,82}\right)\times10^{-10}.
Calculo a divisão dos coeficientes: \dfrac{6,6}{1,82}\approx 3,626. Assim
\lambda \approx 3,626\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora faço o arredondamento considerando os algarismos significativos das grandezas fornecidas (cada dado tem tipicamente 2 algarismos significativos: 2,0, 9,1, 6,6). Mantendo duas casas significativas em \lambda, obtemos
\lambda \approx 3,6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Se preferir ver em unidades mais comuns para escalas atômicas: 3,6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0,36\\ \mathrm{nm}, mas o enunciado pediu em metros, então mantemos metros.

Resposta

3,6\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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