14- Um elétron, no primeiro estado quântico do átomo de hidrogênio, possui velocidade igual a
. A massa do elétron é
, e a constante de Planck é
. Qual o comprimento de onda dado pela equação de De Broglie desse elétron, em metro?
Passo 1
O enunciado dá um elétron no primeiro estado do átomo de hidrogênio com velocidade
. Também fornece a massa do elétron
e a constante de Planck
. A pergunta é: qual o comprimento de onda desse elétron segundo a relação de De Broglie, em metros?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
velocidade:
massa do elétron:
constante de Planck:
O que precisamos calcular: o comprimento de onda associado ao elétron.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que precisamos calcular: o comprimento de onda
Passo 2
Apresento a fórmula de De Broglie e explico cada termo. A relação de De Broglie diz que a onda associada a uma partícula com momento linear
tem comprimento de onda
Aqui:
é o comprimento de onda que queremos (em metros).
é a constante de Planck (unidade:
).
é o momento linear da partícula (unidade:
).
Para uma partícula não relativística (velocidade muito menor que a da luz), o momento é , onde
é a massa e
a velocidade. No nosso caso podemos usar
porque
é muito menor que a velocidade da luz. Assim:
Para uma partícula não relativística (velocidade muito menor que a da luz), o momento é
Passo 3
Vou checar as unidades para você ganhar confiança:
tem unidade
.
tem unidade
.
Dividindo, tem unidade
, exatamente o que queremos. Boa notícia: a fórmula está consistente em unidades.
Dividindo,
Passo 4
Agora substituo os valores numéricos dados na fórmula. Escrevo primeiro o produto
no denominador:
Faço a multiplicação separando coeficientes e potências de 10: coeficientes
. Potências:
. Logo
Para ficar na forma padrão (um coeficiente entre 1 e 10), escrevo
Passo 5
Agora calculo
pela divisão:
Separe a divisão em coeficientes e potências de 10:
Calculo a divisão dos coeficientes:
. Assim
Passo 6
Agora faço o arredondamento considerando os algarismos significativos das grandezas fornecidas (cada dado tem tipicamente 2 algarismos significativos:
,
,
). Mantendo duas casas significativas em
, obtemos
Se preferir ver em unidades mais comuns para escalas atômicas:
, mas o enunciado pediu em metros, então mantemos metros.