7- Sabendo que para o hidrogênio R=E_{1} /(h c), prove a unidade e o valor da constante de Rydeberg \left(1,097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}\right), sabendo que a energia do primeiro nível é dada por 2,180 \times 10^{-18} \mathrm{~J}, a constante de Planck é igual a 6,626 \times 10^{-34} \mathrm{m}^{2} \mathrm{Kg} \mathrm{s}^{-1} \mathrm{e} a velocidade da luz no vácuo apresenta valor igual a 2,998 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Dados: 1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{Kg} \mathrm{s}^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) provar qual é a unidade da constante de Rydberg definida por \displaystyle R=\frac{E_{1}}{h c}; (2) calcular o valor numérico de \displaystyle R usando os dados fornecidos e verificar que dá aproximadamente \displaystyle 1,097\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.\n
Dados fornecidos (copiados do enunciado):\n
E_{1}=2,180\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}\n
h=6,626\times 10^{-34}\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}\n
c=2,998\times 10^{8}\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\n
e a relação de unidades: 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}.\n
Aqui \displaystyle E_{1} é a energia do primeiro nível do hidrogênio, h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.

Passo 2

Análise das unidades (dimensional): vamos escrever as unidades de cada grandeza e ver o que acontece em \displaystyle R=\frac{E_{1}}{h c}.\n
Unidade de \displaystyle E_{1}: pela definição de joule,
[E_{1}]=\mathrm{J}=\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}.
Unidade de \displaystyle h: dada,
[h]=\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}.
Unidade de \displaystyle c:
[c]=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Agora multiplicamos as unidades de h e c:
[h]\,[c]=\big(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}\big)\big(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\big)=\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}.
Dividindo [E_{1}] por [h][c] obtemos
\frac{[E_{1}]}{[h][c]}=\frac{\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}}=\mathrm{m}^{-1}.
Conclusão da parte de unidades: \displaystyle R tem dimensão de comprimento inverso, isto é, unidade \displaystyle \mathrm{m}^{-1}. (Interpretacão física rápida: \displaystyle R é um número de onda/recíproco de comprimento de onda.)

Passo 3

Cálculo numérico: primeiro calculamos o produto h c. Substituindo os valores numéricos:
h c = \big(6,626\times 10^{-34}\big)\big(2,998\times 10^{8}\big).
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes:
6,626\times 2,998 = 19,864748
e
10^{-34}\times 10^{8}=10^{-26}.
Logo
h c = 19,864748\times 10^{-26}.
Para escrever em notação científica padrão deslocamos a vírgula uma casa:
h c = 1,9864748\times 10^{-25}\\ \big(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}\big).

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle R=\dfrac{E_{1}}{h c} numericamente:
R=\frac{2,180\times 10^{-18}}{1,9864748\times 10^{-25}}.
Separe a divisão das mantissas e a dos potências de 10:
\frac{2,180}{1,9864748}\approx 1,097373
e
10^{-18}\div 10^{-25}=10^{7}.
Portanto
R\approx 1,097373\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Arredondando de acordo com o número de algarismos significativos dos dados (valores dados com cerca de 4 algarismos significativos), podemos reportar
R\approx 1,097\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1},
que é exatamente o valor informado no enunciado ( 1,097\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}). Parabéns — a unidade e o valor numérico fazem sentido!

Resposta

1,097\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}

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