1.14 i Sabe-se que
, e que os três vetores representam segmentos de linha e se estendem de uma origem comum. Estes três vetores devem ser coplanares? Se
, os quatro vetores são coplanares?
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
com soma nula
e pergunta se eles devem ser coplanares.
Depois faz a mesma pergunta para quatro vetores com
.
O conteúdo é dependência linear e coplanaridade de vetores em .
Depois faz a mesma pergunta para quatro vetores
O conteúdo é dependência linear e coplanaridade de vetores em
Passo 2
Quando
a gente pode escrever
Isso mostra que
é combinação linear de
e
, ou seja,
está no plano gerado por
e
. Logo, os três vetores são coplanares.
Passo 3
No caso de quatro vetores com
, isolamos
Isso mostra que
está no espaço gerado por
, logo há dependência linear entre eles. Mas um espaço gerado por três vetores em
pode ser todo o
, então não precisam ficar num mesmo plano.
Passo 4
Para ver concretamente que quatro vetores nem sempre são coplanares, basta o exemplo em
:
Todos somam zero, mas não existe um único plano que contenha
simultaneamente.
Resposta
Sim, três vetores com
são necessariamente coplanares.
Não, quatro vetores com não precisam ser coplanares.
Não, quatro vetores com