1.14 i Sabe-se que \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}=0, e que os três vetores representam segmentos de linha e se estendem de uma origem comum. Estes três vetores devem ser coplanares? Se \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D}=0, os quatro vetores são coplanares?

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} com soma nula \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}=0 e pergunta se eles devem ser coplanares.
Depois faz a mesma pergunta para quatro vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D} com \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D}=0.
O conteúdo é dependência linear e coplanaridade de vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Quando \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}=0 a gente pode escrever
\mathbf{C} = -(\mathbf{A}+\mathbf{B}).
Isso mostra que \mathbf{C} é combinação linear de \mathbf{A} e \mathbf{B}, ou seja, \mathbf{C} está no plano gerado por \mathbf{A} e \mathbf{B}. Logo, os três vetores são coplanares.

Passo 3

No caso de quatro vetores com \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D}=0, isolamos
\mathbf{D} = -(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}).
Isso mostra que \mathbf{D} está no espaço gerado por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}, logo há dependência linear entre eles. Mas um espaço gerado por três vetores em \mathbb{R}^3 pode ser todo o \mathbb{R}^3, então não precisam ficar num mesmo plano.

Passo 4

Para ver concretamente que quatro vetores nem sempre são coplanares, basta o exemplo em \mathbb{R}^3:
\mathbf{A} = \langle1,0,0\rangle,\quad \mathbf{B} = \langle0,1,0\rangle,\quad \mathbf{C} = \langle0,0,1\rangle,\quad \mathbf{D} = \langle-1,-1,-1\rangle.
Todos somam zero, mas não existe um único plano que contenha \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} simultaneamente.

Resposta

Sim, três vetores com \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}=0 são necessariamente coplanares.
Não, quatro vetores com \mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D}=0 não precisam ser coplanares.

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