Queremos usar a expansão em série de Fourier de f e integrá‑la para obter a soma da série alternada de reciprados de quadrados.
O próximo passo será obter explicitamente a série de Fourier de f(x)=x.
Passo 2
Obter os coeficientes da série de Fourier de f(x)=x em (- \pi,\pi).
Explicando a ideia: a série de Fourier de uma função periódica de período 2\pi é
a_{n},b_{n} são os coeficientes que determinam a contribuição das funções \cos(nx) e \sin(nx).
Como f(x)=x é uma função ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)), as componentes pares (cossenos) desaparecem: a_{n}=0 para todo n e a_{0}=0. Assim só existem termos senoidais com coeficientes b_{n}.
Aqui foi usado que f é contínua e de derivada com descontinuidades isoladas, o que garante convergência adequada da série de Fourier e permite operar sobre ela (como integrar termo a termo) nas etapas seguintes.
Passo 3
Integrar a série de Fourier termo a termo entre 0 e x.
Primeiro, a integral direta do lado esquerdo:
\int_{0}^{x} t\,dt = \frac{x^{2}}{2}.
Agora integramos o lado direito termo a termo (isto é permitido nas hipóteses de convergência citadas):
Note que 1-(-1)^{n} é 0 para n par e 2 para n ímpar. Portanto apenas os termos ímpares sobrevivem, e para n ímpar temos (-1)^{n+1}=1. Assim a soma torna-se
Agora usamos essa informação para calcular a soma alternada S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}. Separe a soma em termos ímpares e pares: