14.4.1 Mostre que integração da expansão de Fourier de f(x)=x,-\pi<x<\pi leva a
\frac{\pi^{2}}{12}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x definida em -\pi<x<\pi e pede para mostrar que a integração da expansão de Fourier de f leva à igualdade
\frac{\pi^{2}}{12}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x no intervalo -\pi<x<\pi.
  • Queremos usar a expansão em série de Fourier de f e integrá‑la para obter a soma da série alternada de reciprados de quadrados.
    O próximo passo será obter explicitamente a série de Fourier de f(x)=x.

Passo 2

Obter os coeficientes da série de Fourier de f(x)=x em (- \pi,\pi).
Explicando a ideia: a série de Fourier de uma função periódica de período 2\pi é
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Aqui cada variável significa:
  • n é o índice da soma (inteiro positivo),
  • a_{n},b_{n} são os coeficientes que determinam a contribuição das funções \cos(nx) e \sin(nx).
Como f(x)=x é uma função ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)), as componentes pares (cossenos) desaparecem: a_{n}=0 para todo n e a_{0}=0. Assim só existem termos senoidais com coeficientes b_{n}.
Calcular b_{n}. Pela definição,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Para uma função ímpar multiplicada por \sin(nx) (que também é ímpar), o produto x\sin(nx) é par, então podemos escrever
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Agora calculamos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx usando integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u=x (então du=dx) e dv=\sin(nx)\,dx (então v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}). Portanto
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
A segunda integral vale zero porque \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left.\dfrac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=0. Assim
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Logo
b_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right) = -\frac{2(-1)^{n}}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.
Portanto a série de Fourier de f(x)=x é a série apenas de senos
\boxed{\,x = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx),\qquad -\pi<x<\pi.\,}
Aqui foi usado que f é contínua e de derivada com descontinuidades isoladas, o que garante convergência adequada da série de Fourier e permite operar sobre ela (como integrar termo a termo) nas etapas seguintes.

Passo 3

Integrar a série de Fourier termo a termo entre 0 e x.
Primeiro, a integral direta do lado esquerdo:
\int_{0}^{x} t\,dt = \frac{x^{2}}{2}.
Agora integramos o lado direito termo a termo (isto é permitido nas hipóteses de convergência citadas):
\int_{0}^{x} 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nt)\,dt = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\int_{0}^{x}\sin(nt)\,dt.
Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{x}\sin(nt)\,dt:
\int_{0}^{x}\sin(nt)\,dt = \left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_{0}^{x} = \frac{1-\cos(nx)}{n}.
Assim cada termo na soma vira
2\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\frac{1-\cos(nx)}{n} = 2\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\bigl(1-\cos(nx)\bigr).
Somando sobre n obtemos a identidade (válida para -\pi<x<\pi):
\frac{x^{2}}{2} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\bigl(1-\cos(nx)\bigr).

Passo 4

Avaliar a identidade no ponto x=\pi e extrair a soma desejada.
Substituindo x=\pi na fórmula anterior e usando \cos(n\pi)=(-1)^{n}, obtemos
\frac{\pi^{2}}{2} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Note que 1-(-1)^{n} é 0 para n par e 2 para n ímpar. Portanto apenas os termos ímpares sobrevivem, e para n ímpar temos (-1)^{n+1}=1. Assim a soma torna-se
\frac{\pi^{2}}{2} = 2\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\cdot 2 = 4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}}.
Logo
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8}.
Agora usamos essa informação para calcular a soma alternada S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}. Separe a soma em termos ímpares e pares:
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} = \sum_{\text{ímpar}}\frac{1}{n^{2}} - \sum_{\text{par}}\frac{1}{n^{2}}.í
A soma sobre os pares é
\sum_{\text{par}}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{4}\zeta(2),
onde \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é a soma de todos os inversos dos quadrados. Também sabemos que
\sum_{\text{ímpar}}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}.í
Mas \zeta(2)=\sum_{\text{ímpar}}+\sum_{\text{par}}=\dfrac{\pi^{2}}{8}+\dfrac{1}{4}\zeta(2)í. Resolver para \zeta(2)
\zeta(2)\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi^{2}}{8}\quad\Rightarrow\quad \frac{3}{4}\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{8} \quad\Rightarrow\quad \zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}.
Finalmente, calcular S diretamente:
S=\sum_{\text{ímpar}}\frac{1}{n^{2}}-\sum_{\text{par}}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{1}{4}\zeta(2) =\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^{2}}{6} =\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi^{2}}{24}=\frac{\pi^{2}}{12}.í

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{2}}{12}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots

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