Para a parte (b) tem-se explicitamente a expansão de x^{2} em cossenos (sem termos em seno).
A partir daqui vou provar (a) passo a passo e depois aplicar em (b).
Passo 2
Construir as somas parciais e usar ortogonalidade. Defina a soma parcial de ordem N\):
\[S_{N}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\bigr).
Vamos calcular \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S_{N}(x)^{2}\,dx. Para isso preciso das relações de ortogonalidade das funções trigonométricas no intervalo [-\pi,\pi]. Estas integrais são fáceis de calcular usando fórmulas de soma de cossenos/senos; os resultados são:
(Se quiser, cada uma dessas integrais pode ser obtida escrevendo produtos de senos/cossenos como soma de cossenos de somas/diferenças e integrando; o ponto é que cossenos/senos com índices diferentes são ortogonais.)
Agora expanda S_{N}(x)^{2}\] e integre termo a termo. Os termos mistos como \(\cos nx\sin mx e 1\cdot\cos nx têm integral zero por ortogonalidade; os únicos termos que sobrevivem são os quadrados:
Passar do truncado S_{N} para a função f usando convergência uniforme. A hipótese do enunciado garante que S_{N}\to f uniformemente em [-\pi,\pi]. Quero justificar que então \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S_{N}^{2}\,dx\to \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^{2}\,dx e assim passar ao limite em ambos os lados da igualdade do passo anterior.
Explicação detalhada e fácil: como S_{N}\to f uniformemente, existe M tal que |S_{N}(x)|\le M e |f(x)|\le M para todo x e todos N suficientemente grandes (podemos tomar M=\sup|f|+1, por exemplo). Então
onde \|\cdot\|_{\infty} é a norma do supremo. Como \|S_{N}-f\|_{\infty}\to0 e \|S_{N}\|_{\infty}+\|f\|_{\infty} é limitado por 2M, segue que \|S_{N}^{2}-f^{2}\|_{\infty}\to0, ou seja, S_{N}^{2}\to f^{2} uniformemente. Então a integração e o limite podem ser trocados:
Pelo passo 3 o lado esquerdo converge para \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^{2}\,dx quando N\to\infty. O lado direito converge (é uma soma de termos não-negativos) para \dfrac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}). Igualando os limites obtemos exatamente a identidade de Parseval: