Ex 14. O peso médio de amostras de biomassa de levedura (em gramas), é normalmente distribuído com média 18 g e variância 2,25 . Um lote de 5000 amostras com essa característica foi destinado a um reator de fermentação que só aceita amostras a partir de um peso mínimo w.
a) Qual o percentual e o número esperado de amostras com peso entre 17 e 19 gramas?
b) Qual o percentual esperado de amostras pesando menos de 16 gramas?
c) Supondo que foram utilizadas apenas 4200 amostras, qual o valor do peso mínimo (w) usado pelo reator?

Passo 1

O enunciado diz que o peso das amostras X é normalmente distribuído com média \mu=18 g e variância \sigma^2=2{,}25, ou seja, \sigma=1{,}5 g. Para calcular probabilidades, padronizamos
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)

Passo 2

Para (a) queremos
P(17 \le X \le 19) = P\!\Bigl(\frac{17-18}{1,5} \le Z \le \frac{19-18}{1,5}\Bigr) = P(-0,667 \le Z \le 0,667).
Usando a tabela da normal padrão, \Phi(0,667)\approx0,7475 e, pela simetria, \Phi(-0,667)=1-\Phi(0,667)\approx0,2525. Logo
P(17\le X\le 19)\approx0,7475 - 0,2525 = 0,4950.
Isto é, 49{,}50\% das amostras, ou seja, 0,4950\times5000 = 2475 amostras.

Passo 3

Para (b) calculamos
P(X<16) = P\!\Bigl(Z<\frac{16-18}{1,5}\Bigr) = P(Z<-1,333).
Da tabela, \Phi(1,333)\approx0,9082, então
P(Z<-1,333)=1-\Phi(1,333)\approx1-0,9082 = 0,0918.
Ou seja, 9{,}18\% das amostras.

Passo 4

Em (c) o reator aceitou 4200 de 5000 amostras, logo
P(X\ge w)=\frac{4200}{5000}=0,84 \quad\Longrightarrow\quad P(X<w)=0,16.
Seja z_w tal que \Phi(z_w)=0,16; da tabela, z_w\approx-0,994. Então
w = \mu + z_w\,\sigma = 18 + (-0,994)\times1,5 \approx 16,51\text{ g}.

Resposta

(a) 49{,}50\% e 2475 amostras.
(b) 9{,}18\%.
(c) w\approx16,51 g.

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