Ex. 14. Sejam o estado de tensões T e as direções normais N, fornecidos a seguir. Para esses problemas, rascunhe as soluções e obtenha:
14.1) Direção: N=1,0,0,^T;
14.2) Direção: N=0,1,0,^T;
14.3) Direção: N=3,-4,0,^top.
a) Vetor tensão atuante na face definida pela direção N;
b) intensidade da tensão normal à face;
c) intensidade da tensão cisalhante à essa face;
d) vetor tensão normal à face;
e) vetor tensão cisalhante à face.
T=[ccc -20, & -60, & 40, -60, & 60, & 15, 40, & 15, & 40, ] MPa

Passo 1

O enunciado fornece o tensor de tensões de Cauchy
T = -20 & -60 & 40 -60 & 60 & 15 40 & 15 & 40 MPa
e pede, para três direções normais N, o vetor tensão de tração na face ( a), a intensidade da tensão normal ( b), a intensidade da tensão de cisalhamento ( c), o vetor da tensão normal ( d) e o vetor da tensão de cisalhamento ( e). O conteúdo é aplicar t=T,N, depois projetar em N para separar normal e cisalhante.

Passo 2

Em geral, para uma normal unitária N:
t = T,N,
sigman = tcdotN, tau = raiz|t|^2 - sigman^2,
tn = sigman,N, ts = t - tn
Se N não for unitária, substituímos por widehatN = N/|N|.

Passo 3

Caso 14.1: N=(1,0,0)^T já é unitária.
t = T,(1,0,0)^T = (-20,-60,40)^T,
sigman = (-20,-60,40)cdot(1,0,0) = -20,
|t|^2 = (-20)^2+(-60)^2+40^2=5600, tau = raiz5600 - (-20)^2 = raiz5200 = 20raiz13,
tn = -20,(1,0,0)^T = (-20,0,0)^T, ts = (-20,-60,40)^T -(-20,0,0)^T = (0,-60,40)^T

Passo 4

Caso 14.2: N=(0,1,0)^T já é unitária.
t = T,(0,1,0)^T = (-60,60,15)^T,
sigman = (-60,60,15)cdot(0,1,0) = 60,
|t|^2 = 3600+3600+225=7425, tau = raiz7425 - 60^2 = raiz3825 = 5raiz153,
tn = 60,(0,1,0)^T = (0,60,0)^T, ts = (-60,60,15)^T - (0,60,0)^T = (-60,0,15)^T

Passo 5

Caso 14.3: N=(3,-4,0)^T, |N|=5,
widehatN=(3/5,-4/5,0)^T.
t = T,widehatN = 15l(3,T,(1,0,0)^T -4,T,(0,1,0)^Tr) = 15(180,-420,60)^T = (36,-84,12)^T,
sigman = (36,-84,12)cdotl(tfrac35,-tfrac45,0r) =15(108+336)=4445=88,8,
|t|^2 =36^2+(-84)^2+12^2=8496, tau = raiz8496 - (444/5)^2 approx 24,71,
tn = 4445,widehatN =l(tfrac133225,-tfrac177625,0r)^Tapprox(53,28,-71,04,0)^T,
ts = (36,-84,12)^T - tn approx(-17,28,-12,96,12)^T

Resposta

14.1)
a) t=(-20,-60,40)^T MPa
b) sigman=-20 MPa
c) tau=20raiz13 MPa approx72,11 MPa
d) tn=(-20,0,0)^T MPa
e) ts=(0,-60,40)^T MPa
14.2)
a) t=(-60,60,15)^T MPa
b) sigman=60 MPa
c) tau=5raiz153 MPa approx61,84 MPa
d) tn=(0,60,0)^T MPa
e) ts=(-60,0,15)^T MPa
14.3)
a) t=(36,-84,12)^T MPa
b) sigman=tfrac4445=88,8 MPa
c) tauapprox24,71 MPa
d) tn=(tfrac133225,-tfrac177625,0)^Tapprox(53,28,-71,04,0)^T MPa
e) tsapprox(-17,28,-12,96,12)^T MPa

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