2.2.14 Sejam k um natural fixado e \left(a_{n}\\\right)\ a sequência definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\\\\ldots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas.
Calcule a derivada de f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{1+\cos x}

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tem duas perguntas).
  • Dados sobre a sequência:
    • k é um natural fixado.
    • A sequência \bigl(a_n\bigr) é definida por a_n= a expressão \sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\cdots+\sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas aninhadas.
    • Observação útil (que vem da definição): podemos escrever recursivamente a_1=\sqrt{k},\qquad a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}\quad\text{para }n\ge1.
  • Pedido 1 (sequência): determinar o comportamento limite da sequência (ou seja, encontrar \lim_{n\to\infty}a_n) — isto é o que normalmente se pede para esse tipo de definição.
  • Pedido 2 (derivada): calcular a derivada da função f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}.
  • Observação sobre domínios (informação relevante): a função f só está bem definida quando 1+\cos x\neq0, isto é, x\neq(2n+1)\pi para n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Análise da sequência: estratégia e propriedades básicas.
  • Vamos usar o fato recursivo a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}.
  • Ideia padrão: mostrar que \bigl(a_n\bigr) é monotônica (vai aumentar) e limitada superiormente por um certo valor L. Aí, por teorema de convergência de sequências monotônicas e limitadas, ela converge; o limite L satisfará a equação fixa L=\sqrt{k+L}.
  • Primeiro passo técnico: verificar que todos os termos são positivos (óbvio, pois são raízes de k\ge1), depois provar monotonicidade por indução e a existência de um majorante L que será solução da equação L=\sqrt{k+L}.

Passo 3

Provar que \bigl(a_n\bigr) é estritamente crescente.
  • Base: a_2=\sqrt{k+\sqrt{k}}> \sqrt{k}=a_1, já que \sqrt{k}>0.
  • Passo indutivo: suponha a_{n+1}>a_n para algum n\ge1. A função g(x)=\sqrt{k+x} é estritamente crescente em [0,\infty) (porque a raiz quadrada é crescente), então a_{n+2}=g(a_{n+1})>g(a_n)=a_{n+1}.
  • Conclusão: por indução, a_{n+1}>a_n para todo n, logo \bigl(a_n\bigr) é estritamente crescente.

Passo 4

Encontrar um majorante e mostrar que a sequência é limitada superiormente.
  • Suponhamos que exista um L>0 tal que L=\sqrt{k+L}. Então L^2=L+k, i.e. L^2-L-k=0.Resolvendo a quadrática, as raízes são L=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}.Como queremos L>0, escolhemos a raiz positiva L=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.
  • Mostrar a_n<L por indução:
    • Base: a_1=\sqrt{k}. Comparar com L: como L^2=L+k>k, tem L^2>k e portanto L>\sqrt{k}=a_1.
    • Indução: suponha a_n<L. Então usando monotonicidade de g(x)=\sqrt{k+x}, a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}<\sqrt{k+L}=L.
    • Assim a_n<L para todo n. Portanto a sequência é limitada superiormente por L.
  • Conclusão desta parte: \bigl(a_n\bigr) é crescente e limitada superiormente, logo converge.

Passo 5

Determinar o limite e justificar a escolha da raiz positiva.
  • Seja \ell=\lim_{n\to\infty}a_n. Pela recorrência e continuidade da função raiz, tomando limite em ambos os lados de a_{n+1}=\sqrt{k+a_n} obtemos \ell=\sqrt{k+\ell}.
  • Elevando ao quadrado e reorganizando: \ell^2-\ell-k=0.Resolvendo: \ell=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}.
  • Como toda a sequência é positiva e a_n<L com L=\dfrac{1+\sqrt{1+4k}}{2}, o limite deve ser a raiz positiva. A raiz negativa não é compatível com termos positivos.
  • Portanto \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.

Passo 6

Agora a derivada de f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}: observar domínio e método.
  • Domínio: 1+\cos x\neq0, ou seja x\neq(2n+1)\pi.
  • Duas maneiras naturais: usar a regra do quociente ou simplificar usando identidades trigonométricas (metade do ângulo). Vou fazer as duas: primeiro regra do quociente (para aprender a aplicá-la), depois mostrar a simplificação com identidade de meia-ângulo como verificação alternativa.

Passo 7

Cálculo com a regra do quociente.
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.Aqui u(x)=\sin x e v(x)=1+\cos x. Então u'(x)=\cos x e v'(x)=-\sin x.
  • Aplicando: f'(x)=\frac{\cos x\,(1+\cos x)-\sin x\,(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}.
  • Simplificar o numerador: \cos x(1+\cos x)+\sin^2 x=\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x=\cos x+1,pois \sin^2 x+\cos^2 x=1.
  • Logo f'(x)=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x},válido para x\neq(2n+1)\pi.

Passo 8

Verificação e forma alternativa usando meia-ângulo (identidade útil e simplificação).
  • Identidade de meia-ângulo: \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},\qquad 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}.
  • Assim f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\tan\frac{x}{2},sempre que \cos\frac{x}{2}\neq0 (mesma condição de domínio equivalente).
  • Derivando \tan\frac{x}{2} por regra da cadeia: \frac{d}{dx}\tan\frac{x}{2}=\operatorname{sec}^2\frac{x}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}.
  • Usando 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2} obtemos a equivalência \frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{x}{2},que bate com a expressão obtida pela regra do quociente.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}
\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2\cos^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right),\quad x\neq(2n+1)\pi,\\ n\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados