2.2.14 Sejam k um natural fixado e
a sequência definida por
com exatamente
raízes quadradas.
Calcule a derivada de
Calcule a derivada de
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tem duas perguntas).
- Dados sobre a sequência:
-
é um natural fixado. - A sequência
é definida por a expressão com exatamente raízes quadradas aninhadas. - Observação útil (que vem da definição): podemos escrever recursivamente
-
- Pedido 1 (sequência): determinar o comportamento limite da sequência (ou seja, encontrar
) — isto é o que normalmente se pede para esse tipo de definição. - Pedido 2 (derivada): calcular a derivada da função
. - Observação sobre domínios (informação relevante): a função
só está bem definida quando , isto é, para .
Passo 2
Análise da sequência: estratégia e propriedades básicas.
- Vamos usar o fato recursivo
. - Ideia padrão: mostrar que
é monotônica (vai aumentar) e limitada superiormente por um certo valor . Aí, por teorema de convergência de sequências monotônicas e limitadas, ela converge; o limite satisfará a equação fixa . - Primeiro passo técnico: verificar que todos os termos são positivos (óbvio, pois são raízes de
), depois provar monotonicidade por indução e a existência de um majorante que será solução da equação .
Passo 3
Provar que
é estritamente crescente.
- Base:
, já que . - Passo indutivo: suponha
para algum . A função é estritamente crescente em (porque a raiz quadrada é crescente), então - Conclusão: por indução,
para todo , logo é estritamente crescente.
Passo 4
Encontrar um majorante e mostrar que a sequência é limitada superiormente.
- Suponhamos que exista um
tal que . Então , i.e. Resolvendo a quadrática, as raízes são Como queremos , escolhemos a raiz positiva - Mostrar
por indução: - Base:
. Comparar com : como , tem e portanto . - Indução: suponha
. Então usando monotonicidade de , - Assim
para todo . Portanto a sequência é limitada superiormente por .
- Base:
- Conclusão desta parte:
é crescente e limitada superiormente, logo converge.
Passo 5
Determinar o limite e justificar a escolha da raiz positiva.
- Seja
. Pela recorrência e continuidade da função raiz, tomando limite em ambos os lados de obtemos - Elevando ao quadrado e reorganizando:
Resolvendo: - Como toda a sequência é positiva e
com , o limite deve ser a raiz positiva. A raiz negativa não é compatível com termos positivos. - Portanto
Passo 6
Agora a derivada de
: observar domínio e método.
- Domínio:
, ou seja . - Duas maneiras naturais: usar a regra do quociente ou simplificar usando identidades trigonométricas (metade do ângulo). Vou fazer as duas: primeiro regra do quociente (para aprender a aplicá-la), depois mostrar a simplificação com identidade de meia-ângulo como verificação alternativa.
Passo 7
Cálculo com a regra do quociente.
- Regra do quociente: se
com , então Aqui e . Então e . - Aplicando:
- Simplificar o numerador:
pois . - Logo
válido para .
Passo 8
Verificação e forma alternativa usando meia-ângulo (identidade útil e simplificação).
- Identidade de meia-ângulo:
- Assim
sempre que (mesma condição de domínio equivalente). - Derivando
por regra da cadeia: - Usando
obtemos a equivalência que bate com a expressão obtida pela regra do quociente.