2.2.14 Sejam k um natural fixado e
a sequência definida por
com exatamente
raízes quadradas.
Calcule a derivada de
Calcule a derivada de
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede (não vou resolver nada aqui, só organizar as informações).
- Dado fixo:
é um número natural (ou seja, ). - Definição da sequência
: ; com exatamente raízes quadradas. (Equivalente ao recursivo abaixo.) - Função dada:
.
O enunciado pede (vou assumir o pedido padrão para esse tipo de definição):
- Determinar o limite da sequência
quando (ou seja, encontrar o possível valor de convergência da expressão com raízes aninhadas). - Calcular a derivada
da função .
Passo 2
Interpretando a sequência de forma recursiva (isso facilita a prova de convergência). Defino
Explicação didática: a expressão com
raízes é exatamente o termo
definido por essa relação. Assim podemos trabalhar com a recorrência para estudar monotonia e limite.
Passo 3
Vou mostrar que
é crescente (ou seja,
para todo
), usando indução simples.
Base:
, porque
.
Passo indutivo: suponha
. A função
é crescente em
, então
Portanto, por indução,
é estritamente crescente. Intuição: cada nova raiz adiciona um pouco mais.
Passo 4
Agora preciso provar que
é limitada superiormente por um certo número finito; com isso a monotonia crescente + limite superior garantem convergência.
Suponha que a sequência converge para algum limite
. Passando ao limite na relação de recorrência:
e pela continuidade da raiz quadrada obtemos
Isso é uma equação que o limite deve satisfazer. Vou agora resolver essa equação e depois justificar que a sequência realmente fica abaixo da solução positiva.
Elevar ao quadrado dá
Resolvendo a quadrática:
Como
e
para todo
, o limite deve ser não-negativo; a raiz com sinal menos é negativa (ou zero somente se
), portanto o único candidato válido é a raiz positiva
Passo 5
Para tornar rigoroso que
, mostro por indução que
para todo
; isso com a monotonia crescente garante convergência para um limite ≤
, e o único limite compatível com a equação é exatamente
.
-
Verificação inicial:
. Comparar com . Observe que implica , logo (pois ), então . -
Passo indutivo: suponha
. Então, porque a raiz quadrada é crescente,
Portanto por indução
para todo
.
Agora temos:
é crescente e limitada superiormente por
, logo converge. Seu limite
e já determinámos
.
Comentário amigável: é isso que acontece com essas raízes infinitas — o valor converge para a solução positiva da equação fixa
. Ex.: se
obtém-se
(a famosa razão áurea).
Passo 6
Agora mudo para a segunda parte: calcular
para
.
Primeiro, organizando para aplicar a regra do quociente. Defino as funções
de modo que
.
Vou explicar a regra do quociente antes de aplicar: se
com
, então
Aqui
e
são derivadas usuais das funções no numerador e denominador. Essa fórmula vem da definição de derivada ou pode ser vista como uma combinação da regra do produto e da derivada de
.
Passo 7
Calculo
e
:
Passo 8
Aplico a regra do quociente e escrevo a expressão antes de simplificar:
Agora vou expandir cuidadosamente o numerador para simplificar passo a passo.
Primeiro produto:
Segundo produto:
Subtraindo (primeiro menos segundo) obtemos o numerador:
Portanto
Passo 9
Observações finais e domínio de derivada:
- A derivada escrita vale para todo
tal que , porque o denominador da expressão de (e também o quadrado desse denominador) não pode ser zero. A equação tem raiz real , então está definida para todo . - A forma do numerador pode, em princípio, ser fatorada em alguns casos particulares, mas não é necessário para uma resposta de prova; a expressão acima já é uma forma simplificada e correta.