2.2.14 Sejam k um natural fixado e \left(a_{n}\\\right)\ a sequência definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\\\\ldots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas.
Calcule a derivada de f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{2 x^{3}+1}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede (não vou resolver nada aqui, só organizar as informações).
  • Dado fixo: k é um número natural (ou seja, k\in\mathbb{N}).
  • Definição da sequência (a_n): \,a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\cdots \sqrt{k}}}}; com exatamente n raízes quadradas. (Equivalente ao recursivo abaixo.)
  • Função dada: f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{2x^{3}+1}.
O enunciado pede (vou assumir o pedido padrão para esse tipo de definição):
  1. Determinar o limite da sequência (a_n) quando n\to\infty (ou seja, encontrar o possível valor de convergência da expressão com raízes aninhadas).
  2. Calcular a derivada f'(x) da função f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{2x^{3}+1}.

Passo 2

Interpretando a sequência de forma recursiva (isso facilita a prova de convergência). Defino
a_1=\sqrt{k}, \qquad a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}\quad\text{para }n\ge1.
Explicação didática: a expressão com n raízes é exatamente o termo a_n definido por essa relação. Assim podemos trabalhar com a recorrência para estudar monotonia e limite.

Passo 3

Vou mostrar que (a_n) é crescente (ou seja, a_{n+1}\ge a_n para todo n), usando indução simples.
Base: a_2=\sqrt{k+\sqrt{k}}> \sqrt{k}=a_1, porque \sqrt{k}>0.
Passo indutivo: suponha a_n>a_{n-1}. A função \sqrt{\cdot} é crescente em [0,\infty), então
a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}>\sqrt{k+a_{n-1}}=a_n.
Portanto, por indução, (a_n) é estritamente crescente. Intuição: cada nova raiz adiciona um pouco mais.

Passo 4

Agora preciso provar que (a_n) é limitada superiormente por um certo número finito; com isso a monotonia crescente + limite superior garantem convergência.
Suponha que a sequência converge para algum limite L\ge0. Passando ao limite na relação de recorrência:
\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{k+a_n}
e pela continuidade da raiz quadrada obtemos
L=\sqrt{k+L}.
Isso é uma equação que o limite deve satisfazer. Vou agora resolver essa equação e depois justificar que a sequência realmente fica abaixo da solução positiva.
Elevar ao quadrado dá
L^{2}=k+L \quad\Longrightarrow\quad L^{2}-L-k=0.
Resolvendo a quadrática:
L=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}.
Como k\ge0 e a_n\ge0 para todo n, o limite deve ser não-negativo; a raiz com sinal menos é negativa (ou zero somente se k=0), portanto o único candidato válido é a raiz positiva
L=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.

Passo 5

Para tornar rigoroso que a_n\to L, mostro por indução que a_n<L para todo n; isso com a monotonia crescente garante convergência para um limite ≤ L, e o único limite compatível com a equação é exatamente L.
  1. Verificação inicial: a_1=\sqrt{k}. Comparar \sqrt{k} com L. Observe que L^{2}-L-k=0 implica L^{2}=L+k, logo L^{2}>k (pois L>0), então L>\sqrt{k}=a_1.
  2. Passo indutivo: suponha a_n<L. Então, porque a raiz quadrada é crescente,
a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}<\sqrt{k+L}=L.
Portanto por indução a_n<L para todo n.
Agora temos: (a_n) é crescente e limitada superiormente por L, logo converge. Seu limite =\!L e já determinámos L=\dfrac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.
Comentário amigável: é isso que acontece com essas raízes infinitas — o valor converge para a solução positiva da equação fixa L=\sqrt{k+L}. Ex.: se k=1 obtém-se L=\dfrac{1+\sqrt5}{2} (a famosa razão áurea).

Passo 6

Agora mudo para a segunda parte: calcular f'(x) para f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{2x^{3}+1}.
Primeiro, organizando para aplicar a regra do quociente. Defino as funções
g(x)=x^{2}-3x, \qquad h(x)=2x^{3}+1,
de modo que f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}.
Vou explicar a regra do quociente antes de aplicar: se f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com h(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Aqui g'(x) e h'(x) são derivadas usuais das funções no numerador e denominador. Essa fórmula vem da definição de derivada ou pode ser vista como uma combinação da regra do produto e da derivada de 1/h.

Passo 7

Calculo g'(x) e h'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-3x\bigr)=2x-3, \qquad h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}+1\bigr)=6x^{2}.

Passo 8

Aplico a regra do quociente e escrevo a expressão antes de simplificar:
f'(x)=\frac{(2x-3)(2x^{3}+1)-(x^{2}-3x)(6x^{2})}{(2x^{3}+1)^{2}}.
Agora vou expandir cuidadosamente o numerador para simplificar passo a passo.
Primeiro produto:
(2x-3)(2x^{3}+1)=2x\cdot 2x^{3}+2x\cdot 1-3\cdot 2x^{3}-3\cdot1 =4x^{4}+2x-6x^{3}-3.
Segundo produto:
(x^{2}-3x)(6x^{2})=6x^{2}\cdot x^{2}-6x^{2}\cdot 3x=6x^{4}-18x^{3}.
Subtraindo (primeiro menos segundo) obtemos o numerador:
\begin{aligned} N(x)&=(4x^{4}+2x-6x^{3}-3)-(6x^{4}-18x^{3})\\\ &=4x^{4}+2x-6x^{3}-3-6x^{4}+18x^{3}\\\ &=(-2x^{4})+(12x^{3})+2x-3. \end{aligned}
Portanto
f'(x)=\frac{-2x^{4}+12x^{3}+2x-3}{(2x^{3}+1)^{2}}.

Passo 9

Observações finais e domínio de derivada:
  • A derivada escrita vale para todo x tal que 2x^{3}+1\neq0, porque o denominador da expressão de f(x) (e também o quadrado desse denominador) não pode ser zero. A equação 2x^{3}+1=0 tem raiz real x=-\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}, então f'(x) está definida para todo x\neq -\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}.
  • A forma do numerador pode, em princípio, ser fatorada em alguns casos particulares, mas não é necessário para uma resposta de prova; a expressão acima já é uma forma simplificada e correta.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}
\displaystyle f'(x)=\frac{-2x^{4}+12x^{3}+2x-3}{(2x^{3}+1)^{2}}

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