14 - Para a viga de aço \left(E=2,1 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}\right), e cuja seção transversal é retangular (5 \times 10) \mathrm{cm}^{2}, pede-se:
a) Reação vertical no apoio da direita;
b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seção C).
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei as distâncias e a disposição da viga da imagem enviada).
Dados extraídos do enunciado e da imagem:
Módulo de elasticidade: E=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Seção retangular: b=5\\ \mathrm{cm} (largura) e h=10\\ \mathrm{cm} (altura).
Carga concentrada na extremidade direita: P=800\\ \mathrm{Kgf}.
Momento concentrado aplicado na viga: M_0=1000\\ \mathrm{Kgf\cdot m}.
Geometria ao longo da viga (da esquerda para a direita, peguei estes comprimentos da imagem):
do apoio fixo (E) até a seção do momento: 2\\ \mathrm{m};
da seção do momento até o apoio simples (D): 1\\ \mathrm{m};
do apoio simples (D) até a extremidade livre (C): 1\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento total da viga L_{\text{total}}=4\\ \mathrm{m}. A posição do apoio D em relação ao apoio fixo é 3\\ \mathrm{m} e a posição do momento está a 2\\ \mathrm{m} do apoio fixo.
Observações do pedido:
(a) calcular a reação vertical no apoio da direita (apoio D);
(b) calcular o deslocamento vertical da extremidade livre (seção C).
Passo 2
Escolha da estratégia e coordenadas (sem resolver ainda, só organizar):
A viga tem um apoio engastado à esquerda (E) e um apoio simples (rolamento) em D a 3\\ \mathrm{m} do engaste, com um balanço de 1\\ \mathrm{m} além de D até C. Isso torna a estrutura estaticamente indeterminada de grau 1 (há 4 reações verticais/rotacionais e apenas 3 equações de equilíbrio).
Método usado: método da deformação compatível (superposição). Ou seja:
Removo o apoio D (trato a viga como cantilever engastado em E até a extremidade em C) e calculo a deflexão em D causada pelas cargas externas conhecidas: o ponto P em C e o momento M_0 em 2\\ \mathrm{m}.
Calculo a deflexão em D causada por uma força unitária vertical aplicada em D (coeficiente de flexibilidade).
Exijo a condição de compatibilidade: a deflexão total em D deve ser zero (porque o apoio D impede deslocamento vertical). Isso fornece a reação desconhecida R_D.
Com R_D encontrado, uso superposição para obter a deflexão em C.
Vou trabalhar usando o sistema de unidades centímetro-Kgf: converterei todos os comprimentos para \mathrm{cm}, o momento para \mathrm{Kgf\cdot cm} e usarei E em \mathrm{Kgf/cm^{2}} e I em \mathrm{cm^{4}}. Assim as fórmulas de flexão padrão se aplicam diretamente.
Passo 3
Cálculo do momento de inércia da seção e do produto EI (transformar unidades para \mathrm{cm}):
Para seção retangular a respeito do eixo neutro horizontal:
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Aqui b=5\\ \mathrm{cm} e h=10\\ \mathrm{cm}. Substituindo:
Fórmulas de deflexão usadas (lição rápida e derivação curta, para você saber aplicar na prova)
Para um ponto de carga Q aplicado em x=b sobre um cantilever engastado em x=0, a deflexão em um ponto x\le b é dada por (derivada por duas integrações do momento fletor):
Para x\le a (antes do momento) a curvatura é constante e tem expressão diferente; as fórmulas acima são as que vamos usar para os pontos x=b (D) e x=L (C) conforme pertencimento das regiões.
No método da força unitária, a deflexão no ponto b causada por uma força unitária 1\\ \mathrm{Kgf} aplicada em b é:
\delta_{11}=v(b)\big|_{Q=1}=\frac{b^{3}}{3EI}.
Essa é a “flexibilidade” que multiplica a reação desconhecida R_{D}.
Passo 6
Cálculo das contribuições das cargas externas (remoção do apoio D) na deflexão em D (ou seja, deflexão em x=b=300\\ \mathrm{cm} quando a viga é cantilever em x=0).
Deflexão em D devido à carga P aplicada em C (em x=L=400\\ \mathrm{cm}). Como b=300\le L=400, usamos a fórmula para x\le b com x=b e carga em b? Atenção: aqui a carga P está em x=L e queremos deflexão em x=b com b<L; a fórmula útil é (para ponto de carga no final b=L mas podemos aplicar a expressão geral para x\le b trocando b\leftarrow L e x\leftarrow b):
Isto significa que uma força de 1\\ \mathrm{Kgf} para cima em D produz uma deflexão de 0{,}0102857142857\\ \mathrm{cm} para cima em D. Em convenção “para baixo positivo” essa contribuição seria -0{,}0102857142857\\ \mathrm{cm} por 1\\ \mathrm{Kgf} para cima.
Passo 8
Impor a condição de compatibilidade (deflexão total em D é zero) para encontrar R_{D}:
Deflexão total em D (sinal: para baixo positivo) é:
v_{\text{total}}=v_{\text{ext em }D}+R_{D}\cdot(\text{deflexão em }D\text{ por }1\\ \mathrm{Kgf\\ para\\ cima}).ã
Como a deflexão por 1\\ \mathrm{Kgf} para cima é -\delta_{11} em convenção para baixo positiva, escrevemos:
v_{\text{total}}=v_{\text{ext em }D}-R_{D}\,\delta_{11}=0.
Arredondando razoavelmente, R_{D}\approx1645{,}71\\ \mathrm{Kgf} (direção: para cima).
Passo 9
Verificação rápida (equilíbrio vertical global e sentido):
Soma das forças verticais externas é -P (para baixo) e as reações na viga são R_{D} para cima e uma reação vertical no engaste R_{E} (que será R_{E}=P-R_{D} para manter equilíbrio global). Com R_{D}>P obtém-se R_{E}<0 (isto é, a reação vertical no engaste fica dirigida para baixo), o que é fisicamente aceitável — o engaste pode aplicar reação para baixo. Esse comportamento aparece porque há também um momento concentrado que “redistribui” esforços. Isso confirma que o número obtido pode ser consistente (não há contradição automática).
Passo 10
Cálculo do deslocamento vertical na extremidade livre C (x=L=400\\ \mathrm{cm}) usando superposição:
Deflexão em C devido à carga P na própria extremidade C: