14 - Para a viga de aço \left(E=2,1 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}\right), e cuja seção transversal é retangular (5 \times 10) \mathrm{cm}^{2}, pede-se:
a) Reação vertical no apoio da direita;
b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seção C).
Lembre-se: 1 \mathrm{~cm}^{2}=10^{-4} \mathrm{~m}^{2}
\begin{aligned} & 1 \mathrm{~cm}^{4}=10^{-8} \mathrm{~m}^{4} \\\ & 1 \mathrm{~cm}=10^{-2} \mathrm{~m} \end{aligned}
\mathrm{P}=800 \mathrm{Kgf}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei as distâncias e a disposição da viga da imagem enviada).
Dados extraídos do enunciado e da imagem:
  • Módulo de elasticidade: E=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • Seção retangular: b=5\\ \mathrm{cm} (largura) e h=10\\ \mathrm{cm} (altura).
  • Carga concentrada na extremidade direita: P=800\\ \mathrm{Kgf}.
  • Momento concentrado aplicado na viga: M_0=1000\\ \mathrm{Kgf\cdot m}.
  • Geometria ao longo da viga (da esquerda para a direita, peguei estes comprimentos da imagem):
    • do apoio fixo (E) até a seção do momento: 2\\ \mathrm{m};
    • da seção do momento até o apoio simples (D): 1\\ \mathrm{m};
    • do apoio simples (D) até a extremidade livre (C): 1\\ \mathrm{m}.
  • Portanto o comprimento total da viga L_{\text{total}}=4\\ \mathrm{m}. A posição do apoio D em relação ao apoio fixo é 3\\ \mathrm{m} e a posição do momento está a 2\\ \mathrm{m} do apoio fixo.
  • Unidades úteis (dadas): 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, 1\\ \mathrm{cm^{4}}=10^{-8}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Observações do pedido:
    (a) calcular a reação vertical no apoio da direita (apoio D);
    (b) calcular o deslocamento vertical da extremidade livre (seção C).

Passo 2

Escolha da estratégia e coordenadas (sem resolver ainda, só organizar):
  • A viga tem um apoio engastado à esquerda (E) e um apoio simples (rolamento) em D a 3\\ \mathrm{m} do engaste, com um balanço de 1\\ \mathrm{m} além de D até C. Isso torna a estrutura estaticamente indeterminada de grau 1 (há 4 reações verticais/rotacionais e apenas 3 equações de equilíbrio).
  • Método usado: método da deformação compatível (superposição). Ou seja:
    1. Removo o apoio D (trato a viga como cantilever engastado em E até a extremidade em C) e calculo a deflexão em D causada pelas cargas externas conhecidas: o ponto P em C e o momento M_0 em 2\\ \mathrm{m}.
    2. Calculo a deflexão em D causada por uma força unitária vertical aplicada em D (coeficiente de flexibilidade).
    3. Exijo a condição de compatibilidade: a deflexão total em D deve ser zero (porque o apoio D impede deslocamento vertical). Isso fornece a reação desconhecida R_D.
    4. Com R_D encontrado, uso superposição para obter a deflexão em C.
  • Vou trabalhar usando o sistema de unidades centímetro-Kgf: converterei todos os comprimentos para \mathrm{cm}, o momento para \mathrm{Kgf\cdot cm} e usarei E em \mathrm{Kgf/cm^{2}} e I em \mathrm{cm^{4}}. Assim as fórmulas de flexão padrão se aplicam diretamente.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia da seção e do produto EI (transformar unidades para \mathrm{cm}):
  • Para seção retangular a respeito do eixo neutro horizontal:
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Aqui b=5\\ \mathrm{cm} e h=10\\ \mathrm{cm}. Substituindo:
I=\frac{5\cdot 10^{3}}{12}=\frac{5000}{12}=416{,}666\ldots\\ \mathrm{cm^{4}}.
  • Produto \,EI:
E=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},\qquad I\approx416{,}6667\\ \mathrm{cm^{4}}.
EI=2{,}1\times10^{6}\cdot 416{,}6667=8{,}75\times10^{8}\\ \mathrm{Kgf\cdot cm^{2}}.

Passo 4

Conversões numéricas úteis (para trabalhar em \mathrm{cm} e \mathrm{Kgf}):
  • Comprimentos (peguei da imagem):
L_{\text{total}}=4\\ \mathrm{m}=400\\ \mathrm{cm},
\text{posição do momento }a=2\\ \mathrm{m}=200\\ \mathrm{cm},çã
\text{posição do apoio D }b=3\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{cm},çã
\text{posição de C }L=4\\ \mathrm{m}=400\\ \mathrm{cm}.çã
  • Carga e momento em unidades compatíveis (peguei M_0 e P do enunciado/imagem):
P=800\\ \mathrm{Kgf},
M_0=1000\\ \mathrm{Kgf\cdot m}=1000\cdot100\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}=100000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}.

Passo 5

Fórmulas de deflexão usadas (lição rápida e derivação curta, para você saber aplicar na prova)
  • Para um ponto de carga Q aplicado em x=b sobre um cantilever engastado em x=0, a deflexão em um ponto x\le b é dada por (derivada por duas integrações do momento fletor):
v(x)=\frac{Q\,x^{2}(3b-x)}{6EI}\quad\text{(para \(x\le b\))}.
  • Em particular, no ponto da aplicação da carga (x=b):
v(b)=\frac{Q\,b^{3}}{3EI}.
  • Para a deflexão num ponto x\ge b (ou seja, à direita do ponto de carga), obtém-se (por continuidade de inclinação e deslocamento):
v(x)=\frac{Q\,b^{2}(3x-b)}{6EI}\quad\text{(para \(x\ge b\))}.
  • Para um momento concentrado M_{0} aplicado em x=a em um cantilever, a solução por partes dá, para x\ge a:
v(x)=\frac{M_{0}\,a(2x-a)}{2EI}\quad\text{(para \(x\ge a\))}.
  • Para x\le a (antes do momento) a curvatura é constante e tem expressão diferente; as fórmulas acima são as que vamos usar para os pontos x=b (D) e x=L (C) conforme pertencimento das regiões.
  • No método da força unitária, a deflexão no ponto b causada por uma força unitária 1\\ \mathrm{Kgf} aplicada em b é:
\delta_{11}=v(b)\big|_{Q=1}=\frac{b^{3}}{3EI}.
Essa é a “flexibilidade” que multiplica a reação desconhecida R_{D}.

Passo 6

Cálculo das contribuições das cargas externas (remoção do apoio D) na deflexão em D (ou seja, deflexão em x=b=300\\ \mathrm{cm} quando a viga é cantilever em x=0).
  1. Deflexão em D devido à carga P aplicada em C (em x=L=400\\ \mathrm{cm}). Como b=300\le L=400, usamos a fórmula para x\le b com x=b e carga em b? Atenção: aqui a carga P está em x=L e queremos deflexão em x=b com b<L; a fórmula útil é (para ponto de carga no final b=L mas podemos aplicar a expressão geral para x\le b trocando b\leftarrow L e x\leftarrow b):
v_{P\to D}=\frac{P\,b^{2}(3L-b)}{6EI}.
Substituindo P=800\\ \mathrm{Kgf}, b=300\\ \mathrm{cm}, L=400\\ \mathrm{cm}:
v_{P\to D}=\frac{800\cdot 300^{2}\cdot(3\cdot400-300)}{6\cdot EI}.
Calculemos numericamente:
300^{2}=90000,\quad 3\cdot400-300=900.
\text{numerador}=800\cdot 90000\cdot900=64{,}8\times10^{9}.
6EI=6\cdot 8{,}75\times10^{8}=5{,}25\times10^{9}.
v_{P\to D}=\frac{64{,}8\times10^{9}}{5{,}25\times10^{9}}=12{,}34285714\\ \mathrm{cm}.
Portanto v_{P\to D}\approx 12{,}34285714\\ \mathrm{cm} (para convenção: é deslocamento para baixo).
  1. Deflexão em D devido ao momento M_{0} aplicado em a=200\\ \mathrm{cm}. Como b=300>a, usamos a fórmula para x\ge a:
v_{M\to D}=\frac{M_{0}\,a(2b-a)}{2EI}.
Substituindo M_{0}=100000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}, a=200\\ \mathrm{cm}, b=300\\ \mathrm{cm}:
v_{M\to D}=\frac{100000\cdot200\cdot(2\cdot300-200)}{2\cdot EI}=\frac{100000\cdot200\cdot400}{2\cdot EI}.
\text{numerador}=100000\cdot200\cdot400=8{,}0\times10^{9}.
2EI=1{,}75\times10^{9}.
v_{M\to D}=\frac{8{,}0\times10^{9}}{1{,}75\times10^{9}}=4{,}571428571\\ \mathrm{cm}.
Portanto v_{M\to D}\approx 4{,}571428571\\ \mathrm{cm} (também para baixo).
  1. Soma das contribuições externas em D:
v_{\text{ext em }D}=v_{P\to D}+v_{M\to D}=12{,}34285714+4{,}571428571=16{,}91428571\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Cálculo da flexibilidade (deflexão em D causada por uma força unitária vertical aplicada em D):
  • Para uma força unitária 1\\ \mathrm{Kgf} aplicada em x=b a deflexão em b é
\delta_{11}=\frac{b^{3}}{3EI}.
Substituindo b=300\\ \mathrm{cm}:
b^{3}=27{,}000{,}000\\ \mathrm{cm^{3}}.
3EI=3\cdot8{,}75\times10^{8}=2{,}625\times10^{9}.
\delta_{11}=\frac{27{,}000{,}000}{2{,}625\times10^{9}}=0{,}0102857142857\\ \mathrm{cm\\ per\\ Kgf}.
Isto significa que uma força de 1\\ \mathrm{Kgf} para cima em D produz uma deflexão de 0{,}0102857142857\\ \mathrm{cm} para cima em D. Em convenção “para baixo positivo” essa contribuição seria -0{,}0102857142857\\ \mathrm{cm} por 1\\ \mathrm{Kgf} para cima.

Passo 8

Impor a condição de compatibilidade (deflexão total em D é zero) para encontrar R_{D}:
  • Deflexão total em D (sinal: para baixo positivo) é:
v_{\text{total}}=v_{\text{ext em }D}+R_{D}\cdot(\text{deflexão em }D\text{ por }1\\ \mathrm{Kgf\\ para\\ cima}).ã
Como a deflexão por 1\\ \mathrm{Kgf} para cima é -\delta_{11} em convenção para baixo positiva, escrevemos:
v_{\text{total}}=v_{\text{ext em }D}-R_{D}\,\delta_{11}=0.
Assim
R_{D}=\frac{v_{\text{ext em }D}}{\delta_{11}}.
Substituindo valores numéricos:
R_{D}=\frac{16{,}91428571}{0{,}0102857142857}=1645{,}7142857\\ \mathrm{Kgf}.
Arredondando razoavelmente, R_{D}\approx1645{,}71\\ \mathrm{Kgf} (direção: para cima).

Passo 9

Verificação rápida (equilíbrio vertical global e sentido):
  • Soma das forças verticais externas é -P (para baixo) e as reações na viga são R_{D} para cima e uma reação vertical no engaste R_{E} (que será R_{E}=P-R_{D} para manter equilíbrio global). Com R_{D}>P obtém-se R_{E}<0 (isto é, a reação vertical no engaste fica dirigida para baixo), o que é fisicamente aceitável — o engaste pode aplicar reação para baixo. Esse comportamento aparece porque há também um momento concentrado que “redistribui” esforços. Isso confirma que o número obtido pode ser consistente (não há contradição automática).

Passo 10

Cálculo do deslocamento vertical na extremidade livre C ( x=L=400\\ \mathrm{cm}) usando superposição:
  • Deflexão em C devido à carga P na própria extremidade C:
v_{P\to C}=\frac{P\,L^{3}}{3EI}.
Com P=800, L=400:
L^{3}=400^{3}=64{,}000{,}000,
3EI=2{,}625\times10^{9},
v_{P\to C}=\frac{800\cdot64{,}000{,}000}{2{,}625\times10^{9}}=19{,}50476190\\ \mathrm{cm}.
  • Deflexão em C devido ao momento M_{0} em a=200\\ \mathrm{cm} (usando a fórmula v(x)=M_{0}a(2x-a)/(2EI) para x\ge a):
v_{M\to C}=\frac{M_{0}\,a(2L-a)}{2EI}.
Substituindo:
v_{M\to C}=\frac{100000\cdot200\cdot(800-200)}{2\cdot EI}=\frac{100000\cdot200\cdot600}{2\cdot EI}.
\text{numerador}=100000\cdot200\cdot600=12{,}000{,}000{,}000.
v_{M\to C}=\frac{12{,}000{,}000{,}000}{1{,}75\times10^{9}}=6{,}857142857\\ \mathrm{cm}.
  • Deflexão em C devido à reação R_{D} aplicada em b=300\\ \mathrm{cm}. Para uma força Q em b, deflexão em x=L (com L\ge b) é:
v_{Q\to C}=\frac{Q\,b^{2}(3L-b)}{6EI}.
No nosso caso Q=R_{D} mas a reação é para cima; como adotamos convenção “para baixo positivo”, a contribuição será negativa:
v_{R\to C}=-R_{D}\cdot\frac{b^{2}(3L-b)}{6EI}.
Calculemos o coeficiente:
b^{2}=300^{2}=90000,\quad 3L-b=1200-300=900,
\text{numerador por unidade}=90000\cdot900=81{,}000{,}000.
\frac{81{,}000{,}000}{6EI}=\frac{81{,}000{,}000}{5{,}25\times10^{9}}=0{,}0154285714286\\ \mathrm{cm\\ per\\ Kgf}.
Portanto
v_{R\to C}=-R_{D}\cdot 0{,}0154285714286.
Substituindo R_{D}=1645{,}7142857\\ \mathrm{Kgf}:
v_{R\to C}=-1645{,}7142857\cdot0{,}0154285714286=-25{,}40000000\\ \mathrm{cm}.
  • Soma total das contribuições em C (sinal: para baixo positivo):
v_{C}=v_{P\to C}+v_{M\to C}+v_{R\to C}=19{,}50476190+6{,}857142857-25{,}40000000.
v_{C}=0{,}961904757\\ \mathrm{cm}.
Portanto o deslocamento da extremidade C é aproximadamente 0{,}96190476\\ \mathrm{cm} para baixo (abaixo da posição não deformada).

Passo 11

Resumo numérico e interpretação final (valores práticos arredondados para apresentação):
  • Reação vertical no apoio da direita D:
R_{D}\approx1645{,}71\\ \mathrm{Kgf}\quad(\text{direção: para cima}).çã
  • Deslocamento vertical da extremidade livre C:
v_{C}\approx0{,}9619\\ \mathrm{cm}\quad(\text{para baixo}).

Resposta

R_{D}=1645{,}71\\ \mathrm{Kgf}
v_{C}=0{,}9619\\ \mathrm{cm}\\ \text{(para baixo)}

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