2 - Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determine a máxima tensão tangencial nas molas A e B , quando \mathrm{P}=900 \mathrm{lb}.
DADOS:
Mola A-n=8 ; G=5,6 \times 10^{6} \mathrm{psi} ; D=4 \mathrm{in} ; \mathrm{d}=0,8 in
Mola B-n=15 ; G=6,5 \times 10^{6} \mathrm{psi} ; D=3,6 \mathrm{in} ; \mathrm{d}=0,6 in

Passo 1

O enunciado pede: determinar a máxima tensão tangencial (tensão de cisalhamento máxima) nas molas A e B quando \,P=900\\ \text{lb}\,.
Dados fornecidos (peguei os parâmetros das molas e a carga do enunciado; as posições lineares peguei da imagem):
  • Carga: \,P=900\\ \text{lb}.
  • Mola A (direita): n_A=8,\; G_A=5{,}6\times10^{6}\\ \text{psi},\; D_A=4{,}0\\ \text{in},\; d_A=0{,}8\\ \text{in}.
  • Mola B (esquerda): n_B=15,\; G_B=6{,}5\times10^{6}\\ \text{psi},\; D_B=3{,}6\\ \text{in},\; d_B=0{,}6\\ \text{in}.
  • Posições extraídas da imagem (referência: apoio C como zero):
    • coordenada de B: x_B=-30\\ \text{in}.
    • coordenada do apoio C (fixo, ponto de rotação): x_C=0\\ \text{in}.
    • coordenada da carga P: x_P=+20\\ \text{in}.
    • coordenada de A: x_A=+60\\ \text{in}.
Pergunta concreta a responder: calcular \tau_{\max} (tensão tangencial máxima) no fio de cada mola A e B sob a ação da carga P.

Passo 2

Modelo mecânico e equações básicas — explicando por que e como usar:
  • A barra é rígida e o apoio em C é fixo verticalmente (a barra gira em torno de C sem deslocamento vertical em C). Assim a pequena rotação (pequeno ângulo) da barra em torno de C pode ser representada por um ângulo \theta (adimensional, em radianos).
  • Deslocamento vertical de um ponto da barra localizado a uma distância x (medida a partir de C, positivo para a direita) vale
\delta(x)=\theta\,x.
Isto vem da aproximação linear para rotação pequena: uma rotação \theta produz deslocamento vertical \theta x.
  • Força exercida por uma mola vertical linear é proporcional à compressão/elongação da mola:
F = k\,\delta,
onde k é a constante (rigidez) da mola em \text{lb}/\text{in} e \delta a compressão positiva (em in). A força é dirigida para cima quando \delta>0.
  • Para uma mola helicoidal de fio circular a fórmula da rigidez (constante elástica) é
k=\frac{G\,d^{4}}{8\,n\,D^{3}},
onde:
  • G é o módulo de cisalhamento do material (psi),
  • d é o diâmetro do fio (in),
  • n é o número de espiras ativas,
  • D é o diâmetro médio da espira (in).
    Vou usar essa fórmula para calcular k_A e k_B.

Passo 3

Cálculo das rigidezes k_A e k_B com exposição passo-a-passo.
Para A:
k_A=\frac{G_A d_A^{4}}{8 n_A D_A^{3}}.
Substituindo:
d_A^{4}=(0{,}8)^{4}=0{,}4096,\qquad D_A^{3}=4^{3}=64.
k_A=\frac{5{,}6\times10^{6}\cdot 0{,}4096}{8\cdot 8\cdot 64} =\frac{2{,}29376\times10^{6}}{4096}=560\\ \text{lb/in}.
Para B:
k_B=\frac{G_B d_B^{4}}{8 n_B D_B^{3}}.
Substituindo:
d_B^{4}=(0{,}6)^{4}=0{,}1296,\qquad D_B^{3}=(3{,}6)^{3}=46{,}656.
k_B=\frac{6{,}5\times10^{6}\cdot 0{,}1296}{8\cdot 15\cdot 46{,}656} =\frac{842{,}400}{5{,}598{,}72}\approx150{,}463\\ \text{lb/in}.
Resumo intermediário:
k_A=560\\ \text{lb/in},\qquad k_B\approx150{,}463\\ \text{lb/in}.

Passo 4

Equilíbrio de momentos para determinar a rotação \theta — dedução da expressão usada.
Tomando momentos em torno de C (somando momentos de todas as forças, convenção: momento positivo no sentido anti-horário), as forças das molas em A e B e a carga P devem equilibrar-se:
F_A x_A + F_B x_B - P x_P = 0.
As forças das molas são F_A=k_A\delta_A=k_A(\theta x_A) e F_B=k_B\delta_B=k_B(\theta x_B). Substituindo:
k_A(\theta x_A)x_A + k_B(\theta x_B)x_B - P x_P = 0.
Organizando:
\theta\big(k_A x_A^{2}+k_B x_B^{2}\big)=P x_P.
Com os valores x_A=60\\ \text{in},\;x_B=-30\\ \text{in},\;x_P=20\\ \text{in} (note que aparece x_B^2, então o sinal de x_B é eliminado no quadrado), obtemos
\theta\big(k_A\cdot 60^{2}+k_B\cdot (-30)^{2}\big)=P\cdot20.
Logo
\theta=\frac{20\,P}{3600\,k_A+900\,k_B}.
Agora substituo P=900\\ \text{lb} e os k calculados:
\theta=\frac{20\cdot900}{3600\cdot560+900\cdot150{,}463} =\frac{18{,}000}{2{,}016{,}000+135{,}416{,}7} \approx\frac{18{,}000}{2{,}151{,}416{,}7} \approx0{,}0083678.
Portanto \theta\approx0{,}008368 (adimensional, radianos).

Passo 5

Cálculo das forças nas molas F_A e F_B.
Forças pelos deslocamentos \delta_A=\theta x_A e \delta_B=\theta x_B:
F_A=k_A\delta_A=k_A\,\theta\,x_A=560\cdot0{,}0083678\cdot60.
Calcule passo-a-passo:
560\cdot60=33{,}600,\quad F_A=33{,}600\cdot0{,}0083678\approx281{,}25\\ \text{lb}.
Para B:
F_B=k_B\delta_B=k_B\,\theta\,x_B=150{,}463\cdot0{,}0083678\cdot(-30).
150{,}463\cdot(-30)=-4{,}513{,}89,\quad F_B=-4{,}513{,}89\cdot0{,}0083678\approx-37{,}78\\ \text{lb}.
O sinal negativo indica que a força da mola B está dirigida para baixo sobre a barra (ou seja, a mola B está em tração/elongação e exerce força descendente sobre a barra). O que importa para tensão no fio é o valor absoluto da força: |F_B|\approx37{,}78\\ \text{lb}.
Resumo:
F_A\approx281{,}25\\ \text{lb}\quad(\text{para cima}),\qquad |F_B|\approx37{,}78\\ \text{lb}\quad(\text{módulo}).ó

Passo 6

Fórmula da tensão tangencial máxima no fio da mola (explicação física e fórmula usada).
  • A força axial F aplicada na mola gera um torque no fio equivalente a T=F\cdot (D/2). O esforço cortante simples por torção num cilindro sólido de diâmetro d é \tau_{\text{tors}}=16T/(\pi d^{3}). Substituindo T resulta na expressão básica
\tau_{\text{básica}}=\frac{8F D}{\pi d^{3}}.á
  • Contudo, devido à curvatura do fio e à geometria da espira, existe um fator de concentração chamado fator de Wahl K que aumenta a tensão máxima. A fórmula prática para a tensão de cisalhamento máxima no fio da mola helicoidal é
\tau_{\max}=K\;\frac{8F D}{\pi d^{3}}.
  • O fator de Wahl pode ser estimado por
K=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0{,}615}{C},
onde C=D/d é o índice da mola (razão entre diâmetro médio da espira e diâmetro do fio). Vou calcular K_A e K_B com essa expressão.

Passo 7

Cálculo dos fatores de Wahl e das tensões \tau_{\max} para A e B.
Para A: C_A=\dfrac{D_A}{d_A}=\dfrac{4{,}0}{0{,}8}=5.
K_A=\frac{4\cdot5-1}{4\cdot5-4}+\frac{0{,}615}{5}=\frac{19}{16}+0{,}123=1{,}1875+0{,}123=1{,}3105.
Agora a tensão:
\tau_{A}=K_A\frac{8F_A D_A}{\pi d_A^{3}}.
Calculando passo a passo:
d_A^{3}=(0{,}8)^{3}=0{,}512.
\frac{8F_A D_A}{\pi d_A^{3}}=\frac{8\cdot281{,}25\cdot4{,}0}{\pi\cdot0{,}512} =\frac{9{,}000}{\pi\cdot0{,}512}\approx\frac{9{,}000}{1{,}608495}\approx5{,}595{,}24\\ \text{psi}.
Multiplicando por K_A:
\tau_{A}\approx1{,}3105\cdot5{,}595{,}24\approx7{,}328{,}7\\ \text{psi}\approx7{,}33\times10^{3}\\ \text{psi}.
Para B: C_B=\dfrac{D_B}{d_B}=\dfrac{3{,}6}{0{,}6}=6.
K_B=\frac{4\cdot6-1}{4\cdot6-4}+\frac{0{,}615}{6}=\frac{23}{20}+0{,}1025=1{,}15+0{,}1025=1{,}2525.
Agora a tensão:
d_B^{3}=(0{,}6)^{3}=0{,}216,
\frac{8F_B D_B}{\pi d_B^{3}}=\frac{8\cdot 37{,}78125\cdot 3{,}6}{\pi\cdot0{,}216} =\frac{1{,}088{,}1}{\pi\cdot0{,}216}\approx\frac{1{,}088{,}1}{0{,}678584}\approx1{,}603{,}6\\ \text{psi}.
Multiplicando por K_B:
\tau_{B}\approx1{,}2525\cdot1{,}603{,}6\approx2{,}008{,}2\\ \text{psi}\approx2{,}01\times10^{3}\\ \text{psi}.
Interpretação: a mola A, que recebe a maior força, tem tensão máxima no fio aproximadamente 7{,}33\times10^{3}\\ \text{psi}; a mola B, com força menor, tem tensão máxima bem menor, cerca de 2{,}01\times10^{3}\\ \text{psi}.

Passo 8

Breve verificação de consistência e incentivo:
  • As ordens de grandeza fazem sentido: mola A recebeu força maior (cerca de 281\\ \text{lb}) e consequentemente \tau_A é a maior; mola B está em tração leve ( \approx38\\ \text{lb}) portanto \tau_B é bem menor.
  • Se quiser verificar com outros números de casas significativas ou incluir efeito de pré-carregamento, faço rapidamente. Força e tensão arredondadas estão prontas para revisão.

Resposta

\tau_{A}\approx7{,}33\times10^{3}\\ \text{psi}
\tau_{B}\approx2{,}01\times10^{3}\\ \text{psi}

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