2 - Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determine a máxima tensão tangencial nas molas A e B , quando
.
DADOS:
Mola
in
Mola
in
DADOS:
Mola
Mola
Passo 1
O enunciado pede: determinar a máxima tensão tangencial (tensão de cisalhamento máxima) nas molas A e B quando
.
Dados fornecidos (peguei os parâmetros das molas e a carga do enunciado; as posições lineares peguei da imagem):
- Carga:
- Mola A (direita):
- Mola B (esquerda):
- Posições extraídas da imagem (referência: apoio C como zero):
- coordenada de B:
- coordenada do apoio C (fixo, ponto de rotação):
- coordenada da carga
: - coordenada de A:
- coordenada de B:
Pergunta concreta a responder: calcular
(tensão tangencial máxima) no fio de cada mola A e B sob a ação da carga
.
Passo 2
Modelo mecânico e equações básicas — explicando por que e como usar:
- A barra é rígida e o apoio em
é fixo verticalmente (a barra gira em torno de sem deslocamento vertical em ). Assim a pequena rotação (pequeno ângulo) da barra em torno de pode ser representada por um ângulo (adimensional, em radianos). - Deslocamento vertical de um ponto da barra localizado a uma distância
(medida a partir de , positivo para a direita) vale
Isto vem da aproximação linear para rotação pequena: uma rotação
produz deslocamento vertical
.
- Força exercida por uma mola vertical linear é proporcional à compressão/elongação da mola:
onde
é a constante (rigidez) da mola em
e
a compressão positiva (em in). A força é dirigida para cima quando
.
- Para uma mola helicoidal de fio circular a fórmula da rigidez (constante elástica) é
onde:
-
é o módulo de cisalhamento do material (psi), -
é o diâmetro do fio (in), -
é o número de espiras ativas, -
é o diâmetro médio da espira (in).
Vou usar essa fórmula para calculare .
Passo 3
Cálculo das rigidezes
e
com exposição passo-a-passo.
Para A:
Substituindo:
Para B:
Substituindo:
Resumo intermediário:
Passo 4
Equilíbrio de momentos para determinar a rotação
— dedução da expressão usada.
Tomando momentos em torno de
(somando momentos de todas as forças, convenção: momento positivo no sentido anti-horário), as forças das molas em
e
e a carga
devem equilibrar-se:
As forças das molas são
e
. Substituindo:
Organizando:
Com os valores
(note que aparece
, então o sinal de
é eliminado no quadrado), obtemos
Logo
Agora substituo
e os
calculados:
Portanto
(adimensional, radianos).
Passo 5
Cálculo das forças nas molas
e
.
Forças pelos deslocamentos
e
:
Calcule passo-a-passo:
Para B:
O sinal negativo indica que a força da mola B está dirigida para baixo sobre a barra (ou seja, a mola B está em tração/elongação e exerce força descendente sobre a barra). O que importa para tensão no fio é o valor absoluto da força:
.
Resumo:
Passo 6
Fórmula da tensão tangencial máxima no fio da mola (explicação física e fórmula usada).
- A força axial
aplicada na mola gera um torque no fio equivalente a . O esforço cortante simples por torção num cilindro sólido de diâmetro é . Substituindo resulta na expressão básica
- Contudo, devido à curvatura do fio e à geometria da espira, existe um fator de concentração chamado fator de Wahl
que aumenta a tensão máxima. A fórmula prática para a tensão de cisalhamento máxima no fio da mola helicoidal é
- O fator de Wahl pode ser estimado por
onde
é o índice da mola (razão entre diâmetro médio da espira e diâmetro do fio). Vou calcular
e
com essa expressão.
Passo 7
Cálculo dos fatores de Wahl e das tensões
para A e B.
Para A:
.
Agora a tensão:
Calculando passo a passo:
Multiplicando por
:
Para B:
Agora a tensão:
Multiplicando por
:
Interpretação: a mola A, que recebe a maior força, tem tensão máxima no fio aproximadamente
; a mola B, com força menor, tem tensão máxima bem menor, cerca de
.
Passo 8
Breve verificação de consistência e incentivo:
- As ordens de grandeza fazem sentido: mola A recebeu força maior (cerca de
) e consequentemente é a maior; mola B está em tração leve ( ) portanto é bem menor. - Se quiser verificar com outros números de casas significativas ou incluir efeito de pré-carregamento, faço rapidamente. Força e tensão arredondadas estão prontas para revisão.