4.142 Um carrinho de māo é usado para transportar dois barris, cada qual de massa 40 kg . Desprezando a massa do carrinho, determine (a) a força vertical
que deve ser aplicada à barra para se manter o equilibrio quando
, (b) a reação correspondente em cada uma das duas rodas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a força vertical
aplicada na alça (ponto ) necessária para manter o equilíbrio quando ; - (b) determinar a reação (normal) correspondente em cada uma das duas rodas.
Informações dadas (peguei estes dados da imagem fornecida):
- cada barril tem massa
(há dois barris); - distância horizontal indicada entre os dois eixos das rodas (distância entre as duas rodas) =
; - distância ao longo da barra entre as duas posições dos barris =
(distância entre os centros dos barris ao longo da barra); - distância horizontal do centro do barril inferior até a roda esquerda =
; - há uma indicação de
próxima ao barril (essa medida não será necessária para o cálculo do momento horizontal que iremos usar — se for relevante e eu a tivesse interpretado de forma diferente, avisarei); - distância ao longo da barra do barril superior até o ponto de aplicação
= ; - ângulo da barra em relação à horizontal:
.
Observações sobre a figura e os dados:
- Usei explicitamente os comprimentos
, e que aparecem na figura. - Se alguma dessas medidas na figura tiver interpretação diferente (por exemplo, se alguma for medida perpendicular em vez de ao longo da barra), o resultado numérico muda; a solução abaixo usa a interpretação mais direta: as distâncias ao longo da barra são projetadas horizontalmente com
para obter braços de alavanca horizontais.
Passo 2
Estratégia (razão do método escolhido):
- Para equilíbrio estático de corpo rígido apoiado em duas rodas e submetido a forças verticais, escrevemos:
- soma das forças verticais =
; - soma dos momentos (torques) =
.
- soma das forças verticais =
- Temos três incógnitas:
(força vertical no manípulo), e (reações nas duas rodas). Para determinar de forma significativa é comum considerar a condição de equilíbrio limite (quando uma das rodas perde contato = reação zero) — muitos exercícios pedem a força necessária para que o conjunto fique em equilíbrio de contorno (por exemplo, a roda da frente ou de trás prestes a levantar). Pela orientação da força na figura (força aplicada na extremidade direita da barra, vertical), essa força tende a deslocar a resultante para a roda esquerda, podendo anular a reação da roda direita. Vou então determinar o valor de que leva a reação da roda direita a zero (caso limite), e em seguida calcular as reações resultantes (uma delas ficará então nula). - Justificação física simples: quando uma barra rígida com pesos está apoiada em duas rodas, o esforço no cabo pode deslocar a distribuição das reações; o equilíbrio-limite com uma reação nula é uma situação típica pedida em problemas de estabilidade/tal como “manter o equilíbrio” no sentido de “na posição limite”.
Passo 3
Definir posições horizontais (origem na roda esquerda, conversão para metros).
- Coloco a roda esquerda em
e a roda direita em (distância entre as rodas = ). - Centro do barril inferior: pela figura está
à esquerda da roda esquerda, portanto - Centro do barril superior: está
ao longo da barra à frente (para a direita) do barril inferior. A projeção horizontal dessa distância é . Logo Convertendo para metros: - Ponto de aplicação
: está mais ao longo da barra à direita do barril superior, então sua projeção horizontal desde a origem é
Calculemos numericamente (usei
):
-
. -
(ou seja, o centro superior fica pouco à esquerda da roda esquerda) -
Forças verticais conhecidas:
- peso de cada barril:
- dois barris: força total
Hipótese de equilíbrio-limite adotada: reação na roda direita
. Assim a roda esquerda sustenta todo o apoio vertical.
Passo 4
Equilíbrio de momentos em torno da roda esquerda (
) para achar
— escolho a roda esquerda como pivô pois defini
.
- Soma dos momentos (torques) em torno de
: tomando momentos positivos os produzidos por forças que tendem a girar no sentido horário (convencional aqui). - As duas forças-peso estão à esquerda do pivô; cada peso produz um momento que tende a girar no sentido anti-horário (momento negativo no nosso sinal), mas eu posso trabalhar só com módulos e equilibrar os sentidos: o P, estando à direita do pivô (
), produz momento no sentido horário; os pesos, estando à esquerda ( ), produzem momento no sentido anti-horário. Para equilíbrio (somatório algébrico nulo) temos: (a direita produz momento que compensa o momento conjunto dos pesos que ficam à esquerda). - Substituindo valores (todas distâncias em metros):
- Calculando o membro direito:
- Portanto
Interpretando: uma força vertical
de cerca de
aplicada para baixo em
é a carga necessária (no limite) para que a roda direita deixe de apoiar (ou seja, equilíbrio-limite com
).
Passo 5
Calcular as reações nas rodas para essa
.
Soma das forças verticais (equilíbrio vertical):
Com
e
e
,
Assim:
- reação na roda esquerda (no pivô que sustentou tudo)
; - reação na roda direita
(situação de equilíbrio-limite — roda direita prestes a levantar).