4.142 Um carrinho de māo é usado para transportar dois barris, cada qual de massa 40 kg . Desprezando a massa do carrinho, determine (a) a força vertical \mathbf{P} que deve ser aplicada à barra para se manter o equilibrio quando \alpha=35^{\circ}, (b) a reação correspondente em cada uma das duas rodas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a força vertical P aplicada na alça (ponto A) necessária para manter o equilíbrio quando \alpha=35^\circ;
  • (b) determinar a reação (normal) correspondente em cada uma das duas rodas.
Informações dadas (peguei estes dados da imagem fornecida):
  • cada barril tem massa 40\\ \mathrm{kg} (há dois barris);
  • distância horizontal indicada entre os dois eixos das rodas (distância entre as duas rodas) = 500\\ \mathrm{mm};
  • distância ao longo da barra entre as duas posições dos barris = 350\\ \mathrm{mm} (distância entre os centros dos barris ao longo da barra);
  • distância horizontal do centro do barril inferior até a roda esquerda = 300\\ \mathrm{mm};
  • há uma indicação de 80\\ \mathrm{mm} próxima ao barril (essa medida não será necessária para o cálculo do momento horizontal que iremos usar — se for relevante e eu a tivesse interpretado de forma diferente, avisarei);
  • distância ao longo da barra do barril superior até o ponto de aplicação A = 500\\ \mathrm{mm};
  • ângulo da barra em relação à horizontal: \alpha=35^\circ.
Observações sobre a figura e os dados:
  • Usei explicitamente os comprimentos 300\\ \mathrm{mm}, 350\\ \mathrm{mm} e 500\\ \mathrm{mm} que aparecem na figura.
  • Se alguma dessas medidas na figura tiver interpretação diferente (por exemplo, se alguma for medida perpendicular em vez de ao longo da barra), o resultado numérico muda; a solução abaixo usa a interpretação mais direta: as distâncias ao longo da barra são projetadas horizontalmente com \cos\alpha para obter braços de alavanca horizontais.

Passo 2

Estratégia (razão do método escolhido):
  • Para equilíbrio estático de corpo rígido apoiado em duas rodas e submetido a forças verticais, escrevemos:
    1. soma das forças verticais = 0;
    2. soma dos momentos (torques) = 0.
  • Temos três incógnitas: P (força vertical no manípulo), R_1 e R_2 (reações nas duas rodas). Para determinar P de forma significativa é comum considerar a condição de equilíbrio limite (quando uma das rodas perde contato = reação zero) — muitos exercícios pedem a força P necessária para que o conjunto fique em equilíbrio de contorno (por exemplo, a roda da frente ou de trás prestes a levantar). Pela orientação da força P na figura (força aplicada na extremidade direita da barra, vertical), essa força tende a deslocar a resultante para a roda esquerda, podendo anular a reação da roda direita. Vou então determinar o valor de P que leva a reação da roda direita a zero (caso limite), e em seguida calcular as reações resultantes (uma delas ficará então nula).
  • Justificação física simples: quando uma barra rígida com pesos está apoiada em duas rodas, o esforço no cabo pode deslocar a distribuição das reações; o equilíbrio-limite com uma reação nula é uma situação típica pedida em problemas de estabilidade/tal como “manter o equilíbrio” no sentido de “na posição limite”.

Passo 3

Definir posições horizontais (origem na roda esquerda, conversão para metros).
  • Coloco a roda esquerda em x=0 e a roda direita em x=0{,}500\\ \mathrm{m} (distância entre as rodas 500\\ \mathrm{mm} = 0{,}500\\ \mathrm{m}).
  • Centro do barril inferior: pela figura está 300\\ \mathrm{mm} à esquerda da roda esquerda, portanto x_{\text{inf}} = -300\\ \mathrm{mm} = -0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Centro do barril superior: está 350\\ \mathrm{mm} ao longo da barra à frente (para a direita) do barril inferior. A projeção horizontal dessa distância é 350\cos\alpha. Logo x_{\text{sup}} = x_{\text{inf}} + 350\cos\alpha\\ \text{(mm para m)}.Convertendo para metros: x_{\text{sup}} = -0{,}300 + 0{,}350\cos(35^\circ).
  • Ponto de aplicação A: está mais 500\\ \mathrm{mm} ao longo da barra à direita do barril superior, então sua projeção horizontal desde a origem é x_A = x_{\text{sup}} + 0{,}500\cos\alpha = -0{,}300 + (0{,}350+0{,}500)\cos(35^\circ) = -0{,}300 + 0{,}850\cos(35^\circ).
Calculemos numericamente (usei \cos 35^\circ \approx 0{,}81915):
  • \cos(35^\circ)\approx 0{,}81915.
  • x_{\text{sup}} = -0{,}300 + 0{,}350\cdot 0{,}81915 = -0{,}300 + 0{,}28670 = -0{,}01330\\ \mathrm{m}.
    (ou seja, o centro superior fica pouco à esquerda da roda esquerda)
  • x_A = -0{,}300 + 0{,}850\cdot 0{,}81915 = -0{,}300 + 0{,}69628 = 0{,}39628\\ \mathrm{m}.
Forças verticais conhecidas:
  • peso de cada barril: W = m g = 40\cdot 9{,}81 = 392{,}4\\ \mathrm{N}.
  • dois barris: força total 2W = 784{,}8\\ \mathrm{N}.
Hipótese de equilíbrio-limite adotada: reação na roda direita R_2 = 0. Assim a roda esquerda sustenta todo o apoio vertical.

Passo 4

Equilíbrio de momentos em torno da roda esquerda ( x=0) para achar P — escolho a roda esquerda como pivô pois defini R_2=0.
  • Soma dos momentos (torques) em torno de x=0: tomando momentos positivos os produzidos por forças que tendem a girar no sentido horário (convencional aqui).
  • As duas forças-peso estão à esquerda do pivô; cada peso produz um momento que tende a girar no sentido anti-horário (momento negativo no nosso sinal), mas eu posso trabalhar só com módulos e equilibrar os sentidos: o P, estando à direita do pivô ( x_A>0), produz momento no sentido horário; os pesos, estando à esquerda ( x<0), produzem momento no sentido anti-horário. Para equilíbrio (somatório algébrico nulo) temos: P\cdot x_A = W\cdot|x_{\text{inf}}| + W\cdot|x_{\text{sup}}|.(a direita produz momento que compensa o momento conjunto dos pesos que ficam à esquerda).
  • Substituindo valores (todas distâncias em metros): P\cdot 0{,}39628 = 392{,}4\cdot 0{,}300 + 392{,}4\cdot 0{,}01330.
  • Calculando o membro direito: 392{,}4\cdot(0{,}300+0{,}01330)=392{,}4\cdot 0{,}31330 \approx 122{,}91\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Portanto P = \frac{122{,}91}{0{,}39628}\\ \mathrm{N} \approx 310{,}2\\ \mathrm{N}.
Interpretando: uma força vertical P de cerca de 310\\ \mathrm{N} aplicada para baixo em A é a carga necessária (no limite) para que a roda direita deixe de apoiar (ou seja, equilíbrio-limite com R_2=0).

Passo 5

Calcular as reações nas rodas para essa P.
Soma das forças verticais (equilíbrio vertical):
R_1 + R_2 - 2W - P = 0.
Com R_2=0 e 2W=784{,}8\\ \mathrm{N} e P\approx 310{,}2\\ \mathrm{N},
R_1 = 2W + P = 784{,}8 + 310{,}2 = 1\,095{,}0\\ \mathrm{N}.
Assim:
  • reação na roda esquerda (no pivô que sustentou tudo) R_1 \approx 1{,}095{,}0\\ \mathrm{kN};
  • reação na roda direita R_2 = 0\\ \mathrm{N} (situação de equilíbrio-limite — roda direita prestes a levantar).

Resposta

P\approx 310{,}2\\ \mathrm{N}
R_{\text{roda esquerda}}\approx 1\,095{,}0\\ \mathrm{N}
R_{\text{roda direita}}=0\\ \mathrm{N}

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