4.144 Uma alavanca A B é articulada em C e presa a um cabo de controle em A. Se a alavanca for submetida a uma força vertical de 300 N em B, determine \langle a) a tração no cabo, ( b ) a reação em C.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a tração no cabo preso em A.
  • (b) Determinar a reação em C (componentes e, se desejar, magnitude/direção).
Informações fornecidas (peguei estes valores da figura):
  • Força vertical aplicada em B: 300\\ \mathrm{N} para baixo.
  • Distância ao longo da alavanca de C até A: AC=250\\ \mathrm{mm}.
  • Distância ao longo da alavanca de C até B: CB=375\\ \mathrm{mm}.
  • A alavanca faz um ângulo de 20^\circ com a horizontal (marcado na figura).
  • O ponto D está 300\\ \mathrm{mm} abaixo do nível de C (valor indicado na figura). O cabo/ligação vai de A até D.

Passo 2

Princípios e ideia de solução (curtinha e direta, mas clara):
  • Como a alavanca é um corpo rígido em equilíbrio, valem as equações de equilíbrio estático em 2D: \sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_C=0,onde M_C é o momento resultante em torno do pivô C.
  • Vou usar \sum M_C=0 para eliminar as reações em C e achar a tração T no cabo em A.
  • Em seguida uso \sum F_x=0 e \sum F_y=0 para obter as componentes da reação em C.
  • Fórmula útil (momento de uma força em 2D, componente z): M_z = xF_y - yF_x,onde (x,y) são as coordenadas do ponto de aplicação medidas a partir de C.

Passo 3

Coordenadas de A e B com origem em C (uso mm→m para ficar em N·m):
  • Defino x para a direita e y para cima; C=(0,0).
  • A alavanca forma \theta=20^\circ com a horizontal; assim: \text{Para }B:\quad x_B = 0,375\cos20^\circ,\qquad y_B = 0,375\sin20^\circ.Valores numéricos: x_B = 0,375\cos20^\circ \approx 0,35236\\ \mathrm{m}, \qquad y_B = 0,375\sin20^\circ \approx 0,12826\\ \mathrm{m}.
  • Para A (à esquerda de C ao longo da mesma alavanca, distância 0,250\\ \mathrm{m}): x_A = -0,250\cos20^\circ \approx -0,23492\\ \mathrm{m}, \qquad y_A = 0,250\sin20^\circ \approx 0,08551\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Direção do cabo AD (ângulo \alpha em relação à horizontal):
  • Pelo desenho: deslocamento de A até D tem componentes horizontais 250\\ \mathrm{mm} (para a direita) e verticais -300\\ \mathrm{mm} (para baixo). Assim \tan\alpha = \frac{300}{250} = 1,2, \qquad \alpha = \arctan(1,2)\approx 50,194^\circ.
  • Componentes da tração T (convenção: T puxa ao longo de A\to D, isto é, para a direita e para baixo): T_x = T\cos\alpha,\qquad T_y = -T\sin\alpha.

Passo 5

Equilíbrio de momentos em C para achar T.
  • Momento do peso de 300\\ \mathrm{N} em B em torno de C:
    a força é vertical (somente F_y=-300\\ \mathrm{N}), então seu momento é M_B = x_B\cdot F_{By} = x_B(-300).Numericamente: M_B = -300\cdot 0,35236 \approx -105,708\\ \mathrm{N\!\cdot m}.(sinal negativo indica sentido horário).
  • Momento da tração T aplicada em A (uso M = xF_y - yF_x): M_T = x_A\cdot F_{Ty} - y_A\cdot F_{Tx} = x_A(-T\sin\alpha) - y_A(T\cos\alpha) = -T\big(x_A\sin\alpha + y_A\cos\alpha\big).
  • Equilíbrio \sum M_C=0\Rightarrow M_B + M_T = 0. Assim -300\,x_B - T\big(x_A\sin\alpha + y_A\cos\alpha\big)=0.Resolve para T: T = \frac{300\,x_B}{-(x_A\sin\alpha + y_A\cos\alpha)}.
  • Substituindo números: x_A\sin\alpha + y_A\cos\alpha \approx (-0,23492)(0,768221) + (0,08551)(0,640184) \approx -0,12571\\ \mathrm{m}.
T \approx \frac{300\cdot 0,35236}{0,12571} \approx 840,999\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando razoavelmente: T \approx 841,0\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Componentes da tração T:
  • Usando \alpha\approx 50,194^\circ: T_x = T\cos\alpha \approx 841,0\cdot 0,640184 \approx 538,2\\ \mathrm{N}\quad(\text{para a direita}),
T_y = -T\sin\alpha \approx -841,0\cdot 0,768221 \approx -646,0\\ \mathrm{N}\quad(\text{para baixo}).

Passo 7

Equilíbrio das forças para obter a reação em C.
  • Soma das forças em x: \sum F_x = 0 \Rightarrow C_x + T_x = 0 \Rightarrow C_x = -T_x \approx -538,2\\ \mathrm{N}.(sinal negativo: reação em C aponta para a esquerda).
  • Soma das forças em y: \sum F_y = 0 \Rightarrow C_y + T_y + (-300) = 0
\Rightarrow C_y = 300 - T_y\\ (\text{cuidando dos sinais})\Rightarrow C_y = 300 + T\sin\alpha.
Numérico:
C_y \approx 300 + 646,0 = 946,0\\ \mathrm{N}\quad(\text{para cima}).

Passo 8

Magnitude e direção da reação em C (opcional, mas útil):
  • Magnitude: |C| = \sqrt{C_x^2 + C_y^2} \approx \sqrt{(-538,2)^2 + (946,0)^2}\approx 1088,4\\ \mathrm{N}.
  • Direção (ângulo medido a partir do eixo +x): \varphi = \arctan\!\left(\frac{C_y}{C_x}\right) \approx \arctan\!\left(\frac{946,0}{-538,2}\right)\approx -60,7^\circ,que corresponde ao quadrante II; portanto \varphi\approx 119,3^\circ medidos a partir do eixo +x (sentido anticlokwise).

Resposta

(a) T \approx 841,0\\ \mathrm{N}
(b) C_x \approx -538,2\\ \mathrm{N},\qquad C_y \approx 946,0\\ \mathrm{N}
Opcional (magnitude/direção): |C|\approx 1088,4\\ \mathrm{N} atuando a \approx119,3^\circ a partir do eixo +x.

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