4.12 A viga A B de 10 m apoia, mas nāo está fixada, sobre aps suportes C e D. Desprezando o peso próprio da viga, determine o intervalo de valores de P para que a viga permaneça em equilibrio.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de valores de P para que a viga permaneça em equilíbrio (isto é, apoiada simultaneamente sobre os dois apoios C e D, sem que nenhum apoio perca contato).
Informações fornecidas (peguei os valores de distâncias e posições da figura):
  • Comprimento total da viga A B: 10\\ \text{m}.
  • Cargas verticais aplicadas (atuam para baixo): uma força P em A (extremidade esquerda), uma carga de 4\\ \text{kN} localizada no ponto a 5\\ \text{m} de A (ou seja, no centro da viga) e uma carga de 20\\ \text{kN} em B (extremidade direita).
  • Distâncias ao longo da viga (da esquerda para a direita): 2\\ \text{m},\;3\\ \text{m},\;3\\ \text{m},\;2\\ \text{m} (total 2+3+3+2=10\\ \text{m}).
  • A partir daí: o apoio C está a 2\\ \text{m} de A (ou seja, em x=2\\ \text{m}); o apoio D está a 8\\ \text{m} de A (ou seja, em x=8\\ \text{m}). Assim, a distância entre os apoios C e D é 6\\ \text{m}. A carga de 4\\ \text{kN} está a 5\\ \text{m} de A, isto é a 3\\ \text{m} à direita de C e a 3\\ \text{m} à esquerda de D.
  • Despreza-se o peso próprio da viga.
O que devemos garantir para que a viga “permaneça em equilíbrio” sobre os dois apoios: as reações verticais nos apoios R_C e R_D (positivas para cima) devem existir e ser não negativas:
R_C \ge 0,\qquad R_D \ge 0.

Passo 2

Definir incógnitas e escrever a equação de equilíbrio vertical. Chamemos R_C e R_D as reações verticais em C e D, positivas para cima. A soma das forças verticais deve ser zero (equilíbrio estático vertical):
R_C + R_D - P - 4 - 20 = 0.
Explicando a fórmula: soma de forças verticais = força para cima (reações) menos forças para baixo (cargas) igual a zero. Simplificando:
R_C + R_D = P + 24\qquad(\text{kN}).

Passo 3

Usar o equilíbrio de momentos para obter uma segunda equação e eliminar uma reação. Vou tomar momentos em relação ao apoio C (momento de R_C é zero porque passa por C). A soma dos momentos em torno de C deve ser zero. Convenção: momentos que tendem a girar em sentido horário somados e igualados aos momentos antihorário; aqui vamos igualar soma dos momentos das cargas (que tendem a girar em um sentido) ao momento de R_D (oposto).
Distâncias dos carregamentos a partir de C:
  • P em A fica a 2\\ \text{m} à esquerda de C (distância 2\\ \text{m}).
  • 4\\ \text{kN} está 3\\ \text{m} à direita de C.
  • 20\\ \text{kN} está 8\\ \text{m} à direita de C.
  • R_D atua em D a 6\\ \text{m} à direita de C.
Equilíbrio de momentos em torno de C:
R_D\cdot 6 - \big(P\cdot 2 + 4\cdot 3 + 20\cdot 8\big)=0.
Isolando R_D:
R_D = \dfrac{2P + 12 + 160}{6} = \dfrac{2P + 172}{6} = \dfrac{P + 86}{3}\qquad(\text{kN}).
Explicando: cada produto força×braço é o momento daquela força em relação ao ponto C; somando os momentos das cargas e igualando ao momento devido a R_D obtém-se R_D.

Passo 4

Calcular R_C usando a equação vertical R_C + R_D = P + 24. Substituindo R_D:
R_C = P + 24 - R_D = P + 24 - \dfrac{P + 86}{3}.
Fazendo as contas passo a passo:
R_C = \dfrac{3(P+24) - (P+86)}{3} = \dfrac{3P+72 - P -86}{3} = \dfrac{2P -14}{3}.
Portanto
R_C = \dfrac{2P - 14}{3}\qquad(\text{kN}).

Passo 5

Impor as condições físicas de contato nos apoios: ambas as reações devem ser não negativas para que a viga permaneça apoiada sobre os dois apoios.
  1. Condição R_D \ge 0:
\dfrac{P + 86}{3} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad P + 86 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad P \ge -86\\ \text{kN}.
Isto é uma condição trivial aqui, pois P é uma carga para baixo (não negativa) então esta desigualdade é sempre satisfeita para P\ge 0. Logo R_D não impõe limite superior ou inferior relevante além de P\ge 0.
  1. Condição R_C \ge 0:
\dfrac{2P - 14}{3} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2P - 14 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad P \ge 7\\ \text{kN}.
Esta é a condição ativa: se P<7\\ \text{kN} então R_C<0, o que significa que a reação em C seria negativa (implicando que o apoio teria que “puxar” a viga para baixo), o que fisicamente não ocorre — nesse caso a viga perderia contato em C. Para manter contato em ambos os apoios é necessário P\ge 7\\ \text{kN}.

Passo 6

Interpretação física final e incentivo: portanto a viga permanece apoiada simultaneamente em C e D (em equilíbrio com ambas as reações não negativas) quando
P \ge 7\\ \text{kN}.
Isto significa que, se P for menor que 7\\ \text{kN}, a reação em C ficaria negativa e a viga iria se soltar do apoio C (ficando apoiada apenas em D ou virando), e se P for maior ou igual a 7\\ \text{kN} os dois apoios sustentam a viga.

Resposta

P \ge 7\\ \text{kN}

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