4.12 A viga
de 10 m apoia, mas nāo está fixada, sobre aps suportes
e D. Desprezando o peso próprio da viga, determine o intervalo de valores de
para que a viga permaneça em equilibrio.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de valores de
para que a viga permaneça em equilíbrio (isto é, apoiada simultaneamente sobre os dois apoios
e
, sem que nenhum apoio perca contato).
Informações fornecidas (peguei os valores de distâncias e posições da figura):
- Comprimento total da viga
: . - Cargas verticais aplicadas (atuam para baixo): uma força
em (extremidade esquerda), uma carga de localizada no ponto a de (ou seja, no centro da viga) e uma carga de em (extremidade direita). - Distâncias ao longo da viga (da esquerda para a direita):
(total ). - A partir daí: o apoio
está a de (ou seja, em ); o apoio está a de (ou seja, em ). Assim, a distância entre os apoios e é . A carga de está a de , isto é a à direita de e a à esquerda de . - Despreza-se o peso próprio da viga.
O que devemos garantir para que a viga “permaneça em equilíbrio” sobre os dois apoios: as reações verticais nos apoios
e
(positivas para cima) devem existir e ser não negativas:
Passo 2
Definir incógnitas e escrever a equação de equilíbrio vertical. Chamemos
e
as reações verticais em
e
, positivas para cima. A soma das forças verticais deve ser zero (equilíbrio estático vertical):
Explicando a fórmula: soma de forças verticais = força para cima (reações) menos forças para baixo (cargas) igual a zero. Simplificando:
Passo 3
Usar o equilíbrio de momentos para obter uma segunda equação e eliminar uma reação. Vou tomar momentos em relação ao apoio
(momento de
é zero porque passa por
). A soma dos momentos em torno de
deve ser zero. Convenção: momentos que tendem a girar em sentido horário somados e igualados aos momentos antihorário; aqui vamos igualar soma dos momentos das cargas (que tendem a girar em um sentido) ao momento de
(oposto).
Distâncias dos carregamentos a partir de
:
-
em fica a à esquerda de (distância ). -
está à direita de . -
está à direita de . -
atua em a à direita de .
Equilíbrio de momentos em torno de
:
Isolando
:
Explicando: cada produto força×braço é o momento daquela força em relação ao ponto
; somando os momentos das cargas e igualando ao momento devido a
obtém-se
.
Passo 4
Calcular
usando a equação vertical
. Substituindo
:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto
Passo 5
Impor as condições físicas de contato nos apoios: ambas as reações devem ser não negativas para que a viga permaneça apoiada sobre os dois apoios.
- Condição
:
Isto é uma condição trivial aqui, pois
é uma carga para baixo (não negativa) então esta desigualdade é sempre satisfeita para
. Logo
não impõe limite superior ou inferior relevante além de
.
- Condição
:
Esta é a condição ativa: se
então
, o que significa que a reação em
seria negativa (implicando que o apoio teria que “puxar” a viga para baixo), o que fisicamente não ocorre — nesse caso a viga perderia contato em
. Para manter contato em ambos os apoios é necessário
.
Passo 6
Interpretação física final e incentivo: portanto a viga permanece apoiada simultaneamente em
e
(em equilíbrio com ambas as reações não negativas) quando
Isto significa que, se
for menor que
, a reação em
ficaria negativa e a viga iria se soltar do apoio
(ficando apoiada apenas em
ou virando), e se
for maior ou igual a
os dois apoios sustentam a viga.