H. 144 Obter a derivada de cada função
dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada da função
Informações dadas:
está escrita como uma potência com expoente
e base
(uma expressão linear).
Pergunta: calcular , a derivada de
em função de
.
Pergunta: calcular
Passo 2
Vamos identificar a estrutura da função para escolher a regra de derivação adequada.
Aqui temos uma função composta: uma potência aplicada a uma função linear. Escrevendo de forma explícita:
Aqui temos uma função composta: uma potência aplicada a uma função linear. Escrevendo de forma explícita:
A regra que usamos para derivar funções compostas é a regra da cadeia. Ela diz que, se
, então
Explicando as variáveis:
é a variável intermediária (a saída de
),
é a derivada da função externa em relação a
, e
é a derivada da função interna em relação a
. Multiplicamos porque estamos aplicando a variação da externa sobre a variação da interna.
Passo 3
Agora precisamos das derivadas das duas peças:
- Derivada da função externa
. Usamos a regra da potência: para com constante, . Assim,
Aqui
e
é a variável (no nosso caso
).
- Derivada da função interna
. Como é uma função linear , sua derivada é o coeficiente . Então
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia
, substituímos
e
:
Como
, isso fica
Observação pedagógica: aqui o fator
vem de diminuir o expoente pela regra da potência,
é a mesma base com expoente reduzido em 1, e o
vem da derivada da parte interna
. Se quiser visualizar com um exemplo mais simples, para
a mesma lógica daria
.
Passo 5
Para finalizar, multiplica-se os coeficientes numéricos
e
. Faça a conta:
.
A forma simplificada e final da derivada será apresentada na seção de resposta.
A forma simplificada e final da derivada será apresentada na seção de resposta.