H. 144 Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=(2 x+3)^{52}

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função
f(x)=(2x+3)^{52}.
Informações dadas:
\;f(x) está escrita como uma potência com expoente \;52 e base \;2x+3 (uma expressão linear).
Pergunta: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função para escolher a regra de derivação adequada.
Aqui temos uma função composta: uma potência aplicada a uma função linear. Escrevendo de forma explícita:
f(x)=g(h(x))\quad\text{com}\quad g(u)=u^{52}\quad\text{e}\quad h(x)=2x+3.
A regra que usamos para derivar funções compostas é a regra da cadeia. Ela diz que, se \;f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Explicando as variáveis: u é a variável intermediária (a saída de h), g'(u) é a derivada da função externa em relação a u, e h'(x) é a derivada da função interna em relação a x. Multiplicamos porque estamos aplicando a variação da externa sobre a variação da interna.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas das duas peças:
  • Derivada da função externa g(u)=u^{52}. Usamos a regra da potência: para \;g(u)=u^{n} com n constante, \;g'(u)=n\,u^{n-1}. Assim,
g'(u)=52\,u^{51}.
Aqui n=52 e u é a variável (no nosso caso u=h(x)).
  • Derivada da função interna h(x)=2x+3. Como h é uma função linear ax+b, sua derivada é o coeficiente a. Então
h'(x)=2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia \;f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x), substituímos g' e h':
f'(x)=52\,(h(x))^{51}\cdot 2.
Como h(x)=2x+3, isso fica
f'(x)=52\,(2x+3)^{51}\cdot 2.
Observação pedagógica: aqui o fator 52 vem de diminuir o expoente pela regra da potência, (2x+3)^{51} é a mesma base com expoente reduzido em 1, e o \;2 vem da derivada da parte interna 2x+3. Se quiser visualizar com um exemplo mais simples, para (2x+3)^2 a mesma lógica daria 2(2x+3)\cdot 2.

Passo 5

Para finalizar, multiplica-se os coeficientes numéricos 52 e 2. Faça a conta: 52\cdot 2 = 104.
A forma simplificada e final da derivada será apresentada na seção de resposta.

Resposta

104(2x+3)^{51}

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