H. 153 (MAPOFEI-70) - É dada a função
a) Determinar a derivada.
b) Calcular
.
a) Determinar a derivada.
b) Calcular
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar a derivada.
- (b) Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O denominador
nunca é zero, logo a função está definida para todo . - Vou assumir que a notação
no item (b) refere-se ao valor da função (isto é, ). Se não for isso, o enunciado estaria ambiguo, mas seguirei essa interpretação.
Passo 2
Vamos achar a derivada usando a regra do quociente. Primeiro, explico a regra e o que cada coisa significa.
Regra do quociente: se temos
, então a derivada
é
O que cada símbolo significa:
-
é o numerador da função e é a derivada de em relação a . -
é o denominador e é a derivada de em relação a . - O numerador da fórmula corresponde à “derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador”; o denominador é o quadrado do denominador original.
No nosso caso identificamos:
Agora calcule as derivadas simples:
(Usei a regra da potência:
.)
Passo 3
Aplicando a regra do quociente passo a passo:
Agora faça as multiplicações no numerador:
Substituindo:
Pronto — essa é a derivada simplificada.
Passo 4
Como verificação alternativa (útil na prova para checar resultados), você pode reescrever a função de forma mais simples:
Derivando essa forma: a derivada de
é
e a derivada de
é, por regra da cadeia,
Como havia um sinal negativo na reescrita, ficamos com
que bate com o cálculo anterior.
Passo 5
Agora o limite quando
. Vou usar uma técnica simples: dividir numerador e denominador por
(o maior grau que aparece):
Quando
temos
. Então
Outra visão intuitiva: para
muito grande,
domina o
, então a fração fica muito próxima de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)