H. 153 (MAPOFEI-70) - É dada a função y=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
a) Determinar a derivada.
b) Calcular \lim _{x \rightarrow+\infty} v.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} e pede duas coisas:
  • (a) Determinar a derivada.
  • (b) Calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty} v.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle y=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}.
  • O denominador \displaystyle x^{2}+1 nunca é zero, logo a função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Vou assumir que a notação v no item (b) refere-se ao valor da função (isto é, v=y). Se não for isso, o enunciado estaria ambiguo, mas seguirei essa interpretação.

Passo 2

Vamos achar a derivada usando a regra do quociente. Primeiro, explico a regra e o que cada coisa significa.
Regra do quociente: se temos \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{w(x)}, então a derivada f'(x) é
f'(x)=\frac{u'(x)\,w(x)-u(x)\,w'(x)}{[w(x)]^{2}}.
O que cada símbolo significa:
  • u(x) é o numerador da função e u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • w(x) é o denominador e w'(x) é a derivada de w em relação a x.
  • O numerador da fórmula corresponde à “derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador”; o denominador é o quadrado do denominador original.
No nosso caso identificamos:
u(x)=x^{2},\qquad w(x)=x^{2}+1.
Agora calcule as derivadas simples:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,
w'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x.
(Usei a regra da potência: \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}.)

Passo 3

Aplicando a regra do quociente passo a passo:
y'=\frac{u'(x)\,w(x)-u(x)\,w'(x)}{[w(x)]^{2}} =\frac{(2x)(x^{2}+1)-x^{2}(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora faça as multiplicações no numerador:
(2x)(x^{2}+1)=2x^{3}+2x,\qquad x^{2}(2x)=2x^{3}.
Substituindo:
y'=\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Pronto — essa é a derivada simplificada.

Passo 4

Como verificação alternativa (útil na prova para checar resultados), você pode reescrever a função de forma mais simples:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}.
Derivando essa forma: a derivada de 1 é 0 e a derivada de \displaystyle \frac{1}{x^{2}+1} é, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left((x^{2}+1)^{-1}\right)=-1\cdot(x^{2}+1)^{-2}\cdot(2x)=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Como havia um sinal negativo na reescrita, ficamos com
y' = 0 - \left(-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}},
que bate com o cálculo anterior.

Passo 5

Agora o limite quando x\to+\infty. Vou usar uma técnica simples: dividir numerador e denominador por x^{2} (o maior grau que aparece):
\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}/x^{2}}{(x^{2}+1)/x^{2}}=\frac{1}{1+1/x^{2}}.
Quando x\to+\infty temos 1/x^{2}\to 0. Então
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+1/x^{2}}=\frac{1}{1+0}=1.
Outra visão intuitiva: para x muito grande, x^{2} domina o +1, então a fração fica muito próxima de 1.

Resposta

(a) \displaystyle y'=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}
(b) \displaystyle \lim_{x\to+\infty} v=1

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