15.155 A luneta C D está girando simultaneamente em torno do eixo y com velocidade angular constante \omega_{1}=0,15 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e em torno do eixo z com velocidade angular \omega_{2}=0,25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determine a velocidade e a aceleração do centro D da objetiva.

Passo 1

O enunciado (do jeito que veio) nos dá as seguintes informações:
  • A luneta CD está girando simultaneamente em torno do eixo y com velocidade angular constante \omega_{1}=0{,}15\\ \mathrm{rad/s}.
  • A luneta CD também está girando em torno do eixo z com velocidade angular constante \omega_{2}=0{,}25\\ \mathrm{rad/s}.
  • Pede-se a velocidade e a aceleração do centro D da objetiva.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que, normalmente, aparecem na figura):
  • A posição do ponto D em relação ao sistema de eixos (ou seja, as coordenadas de D: \,x_{D},y_{D},z_{D}\, ou o vetor posição \mathbf{r}_{D}).
  • Qualquer comprimento, distância ou orientação adicional que determine \mathbf{r}_{D}.
Importante: como o enunciado depende de onde o ponto D está (isto é, do vetor posição \mathbf{r}_{D}), não é possível obter um valor numérico concreto para \mathbf{v}_{D} e \mathbf{a}_{D} sem essa informação. Portanto eu não vou inventar a figura; em vez disso vou:
  • Mostrar o método correto e didático para calcular \mathbf{v}_{D} e \mathbf{a}_{D} para rotações rígidas simultâneas;
  • Derivar fórmulas finais em função das coordenadas \,x_{D},y_{D},z_{D}\, que você poderá aplicar diretamente assim que souber a posição de D.

Passo 2

Conceito central (passo-a-passo e sem pular etapas): quando um corpo rígido gira com velocidade angular \boldsymbol{\omega}, a velocidade linear de qualquer ponto P do corpo (relativa a um sistema de referência inercial) é dada por
\mathbf{v}_{P} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P},
onde \mathbf{r}_{P} é o vetor posição do ponto P medido a partir do mesmo ponto de referência usado para definir \boldsymbol{\omega}. Explico os símbolos:
  • \boldsymbol{\omega} é o vetor velocidade angular (tem direção do eixo de rotação e módulo igual à velocidade angular).
  • \times é o produto vetorial (cross product).
  • \mathbf{r}_{P} é o vetor posição de P em coordenadas cartesianas (x_{P},y_{P},z_{P}).
No nosso caso as rotações são em torno dos eixos y e z. Então o vetor velocidade angular resultante (soma vetorial das rotações, já que as velocidades angulares são constantes e os eixos são fixos) é
\boldsymbol{\omega} = \omega_{1}\,\mathbf{j} + \omega_{2}\,\mathbf{k},
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z respectivamente. Em componentes:
\boldsymbol{\omega}=(0,\\ \omega_{1},\\ \omega_{2}).

Passo 3

Cálculo da velocidade linear de D (fórmula e execução do produto vetorial):
  • Escrevemos o vetor posição de D como \mathbf{r}_{D}=(x_{D},y_{D},z_{D}).
  • Aplicamos \mathbf{v}_{D}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D}.
Para calcular \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D} usamos a expressão componente a componente (ou o determinante):
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & \omega_{1} & \omega_{2} \\\ x_{D} & y_{D} & z_{D} \end{vmatrix}.
Executando o produto vetorial, obtemos as componentes de \mathbf{v}_{D}:
\begin{aligned} v_{D,x} &= \omega_{1}\,z_{D} - \omega_{2}\,y_{D},\\[4pt] v_{D,y} &= \omega_{2}\,x_{D},\\[4pt] v_{D,z} &= -\,\omega_{1}\,x_{D}. \end{aligned}
Explicando cada termo: por exemplo v_{D,x}=\omega_{y}z_{D}-\omega_{z}y_{D} vem da fórmula padrão para a componente x do cross product.
Observação prática: para calcular numericamente \mathbf{v}_{D} você só precisa das coordenadas \,x_{D},y_{D},z_{D}\, e dos valores numéricos \omega_{1}=0{,}15 e \omega_{2}=0{,}25.]

Passo 4

Cálculo da aceleração de D (teoria e simplificação para \boldsymbol{\omega} constante):
  • A aceleração de um ponto em um corpo rígido que gira com \boldsymbol{\omega} pode ser escrita em geral como
\mathbf{a}_{D} = \dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{r}_{D} + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D}),
onde \dot{\boldsymbol{\omega}} é a derivada temporal do vetor angular (torque de variação do vetor angular). Aqui o enunciado diz que as velocidades angulares são constantes, ou seja \omega_{1} e \omega_{2} são constantes. Então \dot{\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{0} e o primeiro termo desaparece. Ficamos com
\mathbf{a}_{D} = \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D}).
  • Para desenvolver o duplo produto vetorial, usamos a identidade vetorial (produto triplo):
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
Aplicando com \mathbf{a}=\boldsymbol{\omega}, \mathbf{b}=\boldsymbol{\omega}, \mathbf{c}=\mathbf{r}_{D}, obtemos
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D})= \boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r}_{D})-\mathbf{r}_{D}(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}).

Passo 5

Agora colocamos isso em componentes. Primeiro:
\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r}_{D}=\omega_{1}\,y_{D}+\omega_{2}\,z_{D},
e
\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}=\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}.
Então
\mathbf{a}_{D}=\boldsymbol{\omega}(\omega_{1}y_{D}+\omega_{2}z_{D})-\mathbf{r}_{D}(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}).
Escrevendo as componentes finais (fazendo as multiplicações e simplificações):
\begin{aligned} a_{D,x} &= -\bigl(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\bigr)\,x_{D},\\[4pt] a_{D,y} &= \omega_{1}\omega_{2}\,z_{D}-\omega_{2}^{2}\,y_{D},\\[4pt] a_{D,z} &= \omega_{1}\omega_{2}\,y_{D}-\omega_{1}^{2}\,z_{D}. \end{aligned}
Interpretação rápida: o termo em x é puramente centrípeto (proporcional e oposto a x_{D} com o módulo \omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}), enquanto y e z têm termos mistos ( \omega_{1}\omega_{2}) por causa das duas rotações acopladas.]

Passo 6

Como usar essas fórmulas na prática (pequeno passo-a-passo para a prova):
  1. Identifique na figura o ponto de origem e leia as coordenadas de D: (x_{D},y_{D},z_{D}).
  2. Substitua \omega_{1}=0{,}15 e \omega_{2}=0{,}25 nas fórmulas das componentes de \mathbf{v}_{D} e \mathbf{a}_{D}.
  3. Calcule componente a componente (faça as multiplicações com cuidado — na prova normalmente quer as expressões algébricas e, se pedirem número, calcule numericamente).
  4. Unidades: velocidade em \mathrm{m/s} se \mathbf{r}_{D} estiver em metros; aceleração em \mathrm{m/s^{2}}.
Quer uma mini-ilustração? Se hipoteticamente D estivesse em (x_{D},y_{D},z_{D})=(L,0,0) ao longo do eixo x (isto é apenas um exemplo ilustrativo, não é o enunciado), então \mathbf{v}_{D}=(0,\omega_{2}L,-\omega_{1}L) e \mathbf{a}_{D}=(-(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2})L,0,0). Mas repito: isto é só um exemplo de uso das fórmulas — para a resposta do seu exercício você deve usar as coordenadas reais do ponto D presentes na figura do enunciado.

Resposta

\mathbf{v}_{D}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D}= \bigl(\omega_{1}z_{D}-\omega_{2}y_{D},\\ \omega_{2}x_{D},\\\ -\omega_{1}x_{D}\bigr)
\mathbf{a}_{D}=\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{D})= \bigl(-(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2})x_{D},\\ \omega_{1}\omega_{2}z_{D}-\omega_{2}^{2}y_{D},\\ \omega_{1}\omega_{2}y_{D}-\omega_{1}^{2}z_{D}\bigr)

Exercícios relacionados