15.155 A luneta C D está girando simultaneamente em torno do eixo y com velocidade angular constante \omega_{1}=0,15 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e em torno do eixo z com velocidade angular \omega_{2}=0,25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determine a velocidade e a aceleração do centro D da objetiva.
Passo 1
O enunciado (do jeito que veio) nos dá as seguintes informações:
A luneta CD está girando simultaneamente em torno do eixo y com velocidade angular constante \omega_{1}=0{,}15\\ \mathrm{rad/s}.
A luneta CD também está girando em torno do eixo z com velocidade angular constante \omega_{2}=0{,}25\\ \mathrm{rad/s}.
Pede-se a velocidade e a aceleração do centro D da objetiva.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que, normalmente, aparecem na figura):
A posição do ponto D em relação ao sistema de eixos (ou seja, as coordenadas de D: \,x_{D},y_{D},z_{D}\, ou o vetor posição \mathbf{r}_{D}).
Qualquer comprimento, distância ou orientação adicional que determine \mathbf{r}_{D}.
Importante: como o enunciado depende de onde o ponto D está (isto é, do vetor posição \mathbf{r}_{D}), não é possível obter um valor numérico concreto para \mathbf{v}_{D} e \mathbf{a}_{D} sem essa informação. Portanto eu não vou inventar a figura; em vez disso vou:
Mostrar o método correto e didático para calcular \mathbf{v}_{D} e \mathbf{a}_{D} para rotações rígidas simultâneas;
Derivar fórmulas finais em função das coordenadas \,x_{D},y_{D},z_{D}\, que você poderá aplicar diretamente assim que souber a posição de D.
Passo 2
Conceito central (passo-a-passo e sem pular etapas): quando um corpo rígido gira com velocidade angular \boldsymbol{\omega}, a velocidade linear de qualquer ponto P do corpo (relativa a um sistema de referência inercial) é dada por
onde \mathbf{r}_{P} é o vetor posição do ponto P medido a partir do mesmo ponto de referência usado para definir \boldsymbol{\omega}. Explico os símbolos:
\boldsymbol{\omega} é o vetor velocidade angular (tem direção do eixo de rotação e módulo igual à velocidade angular).
\times é o produto vetorial (cross product).
\mathbf{r}_{P} é o vetor posição de P em coordenadas cartesianas (x_{P},y_{P},z_{P}).
No nosso caso as rotações são em torno dos eixos y e z. Então o vetor velocidade angular resultante (soma vetorial das rotações, já que as velocidades angulares são constantes e os eixos são fixos) é
Explicando cada termo: por exemplo v_{D,x}=\omega_{y}z_{D}-\omega_{z}y_{D} vem da fórmula padrão para a componente x do cross product.
Observação prática: para calcular numericamente \mathbf{v}_{D} você só precisa das coordenadas \,x_{D},y_{D},z_{D}\, e dos valores numéricos \omega_{1}=0{,}15 e \omega_{2}=0{,}25.]
Passo 4
Cálculo da aceleração de D (teoria e simplificação para \boldsymbol{\omega} constante):
A aceleração de um ponto em um corpo rígido que gira com \boldsymbol{\omega} pode ser escrita em geral como
onde \dot{\boldsymbol{\omega}} é a derivada temporal do vetor angular (torque de variação do vetor angular). Aqui o enunciado diz que as velocidades angulares são constantes, ou seja \omega_{1} e \omega_{2} são constantes. Então \dot{\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{0} e o primeiro termo desaparece. Ficamos com
Interpretação rápida: o termo em x é puramente centrípeto (proporcional e oposto a x_{D} com o módulo \omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}), enquanto y e z têm termos mistos (\omega_{1}\omega_{2}) por causa das duas rotações acopladas.]
Passo 6
Como usar essas fórmulas na prática (pequeno passo-a-passo para a prova):
Identifique na figura o ponto de origem e leia as coordenadas de D: (x_{D},y_{D},z_{D}).
Substitua \omega_{1}=0{,}15 e \omega_{2}=0{,}25 nas fórmulas das componentes de \mathbf{v}_{D} e \mathbf{a}_{D}.
Calcule componente a componente (faça as multiplicações com cuidado — na prova normalmente quer as expressões algébricas e, se pedirem número, calcule numericamente).
Unidades: velocidade em \mathrm{m/s} se \mathbf{r}_{D} estiver em metros; aceleração em \mathrm{m/s^{2}}.
Quer uma mini-ilustração? Se hipoteticamente D estivesse em (x_{D},y_{D},z_{D})=(L,0,0) ao longo do eixo x (isto é apenas um exemplo ilustrativo, não é o enunciado), então \mathbf{v}_{D}=(0,\omega_{2}L,-\omega_{1}L) e \mathbf{a}_{D}=(-(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2})L,0,0). Mas repito: isto é só um exemplo de uso das fórmulas — para a resposta do seu exercício você deve usar as coordenadas reais do ponto D presentes na figura do enunciado.