Determinar o conjugado \mathbf{T}_{2}, requerido para acionar a corrediça contra uma fôrça \mathrm{P}=-20 \mathrm{lb}, para um ângulo da manivela, de \theta=240^{\circ}. Desprezar tôdas as fôrças de atrito.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjugado T_{2} necessário para acionar a corrediça contra uma força P=-20\\ \text{lb} quando o ângulo da manivela é \theta=240^\circ. Foi dado explicitamente:
P=-20\\ \text{lb},\qquad \theta=240^\circ,\qquad \text{sem atrito.}
Informações que deveriam aparecer na figura mas NÃO foram fornecidas (e são necessárias para um valor numérico): os comprimentos geométricos do mecanismo, tipicamente o comprimento da manivela (chamo de r) e o comprimento da biela (chamo de l), além da referência de posição do pistão/corrediça (isto é, como se mede o deslocamento x). Sem esses dados geométricos e sem a figura do mecanismo não é possível calcular um valor numérico para T_{2}. Não vou inventar dimensões — explico abaixo como proceder e qual fórmula usar assim que você mandar a figura ou os comprimentos.

Passo 2

Método geral (ideia física e ferramenta que usaremos). Vou explicar a técnica que resolve esse tipo de problema passo a passo, de modo que você consiga aplicar na prova: usamos o princípio do trabalho virtual (ou energia virtual) para um mecanismo sem atrito. A ideia é que, em equilíbrio, o trabalho virtual das forças internas/externas é zero. Para uma pequena variação angular \delta\theta da manivela e correspondente variação \delta x da corrediça:
T_{2}\,\delta\theta - P\,\delta x = 0.
Isto implica, isolando T_{2},
T_{2} = P\,\frac{dx}{d\theta}.
Explico: T_{2} é o torque aplicado na manivela; P é a força na corrediça; \dfrac{dx}{d\theta} é a razão entre o pequeno deslocamento da corrediça e a pequena rotação da manivela — é a vantagem geométrica do mecanismo. Portanto o passo chave é escrever x (posição da corrediça) em função de \theta e diferenciar.

Passo 3

Geometria padrão do mecanismo (definições). Para o esquema clássico manivela-biela-corrediça (manivela de comprimento r ligada a uma biela de comprimento l que desliza na guia), uma expressão comum para a posição do pistão x (medida a partir do centro de rotação da manivela até o ponto de contato da corrediça) é
x(\theta)=r\cos\theta + \sqrt{\,l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\,}.
Explico cada termo: o primeiro termo r\cos\theta é a projeção horizontal da manivela; o segundo termo é a componente da biela projetada na direção do eixo da corrediça (obtida pela relação pitagórica na configuração). As variáveis:
  • r: comprimento da manivela,
  • l: comprimento da biela,
  • \theta: ângulo da manivela (medido a partir da referência usada na figura).

Passo 4

Derivada \dfrac{dx}{d\theta} (passo algébrico, feito devagar). Definindo
s(\theta)=\sqrt{\,l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\,},
temos x(\theta)=r\cos\theta + s(\theta). Derivando termo a termo:
\frac{d}{d\theta}\big(r\cos\theta\big) = -r\sin\theta.
Agora derive s(\theta). Usando regra da cadeia:
\frac{ds}{d\theta}=\frac{1}{2s}\cdot\frac{d}{d\theta}\big(l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\big) =\frac{1}{2s}\cdot\big(-2r^{2}\sin\theta\cos\theta\big) =-\frac{r^{2}\sin\theta\cos\theta}{s}.
Somando as duas derivadas:
\frac{dx}{d\theta} = -r\sin\theta - \frac{r^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\,l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\,}}.
Observação didática: note que \sin\theta aparece fatorando; quando \sin\theta=0 (ou seja \theta=0^\circ,180^\circ), a velocidade instantânea do pistão em relação à rotação é zero — faz sentido físico.

Passo 5

Fórmula final para o conjugado T_{2}. Usando a relação do Passo 2, obtemos a expressão geral:
T_{2}=P\left(-r\sin\theta - \frac{r^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\,l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\,}}\right).
Interpretação e sinais: se P for negativo (como no enunciado P=-20\\ \text{lb}), o sinal em T_{2} indicará o sentido do torque necessário para equilibrar essa força; na prática você costuma calcular o valor numérico (módulo) e, se necessário, indicar o sentido (horário/anti-horário). Para obter torque em \text{lb}\cdot\text{unidade de comprimento} garanta que r e l estejam na mesma unidade (por exemplo, polegadas). Se preferir, pode escrever
T_{2}=-P\,\sin\theta\left(r+\frac{r^{2}\cos\theta}{\sqrt{\,l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\,}}\right).

Passo 6

O que falta para um valor numérico e como você deve me enviar a figura (ou dados) para eu calcular numericamente. Para obter T_{2} numérico no caso pedido ( \theta=240^\circ e P=-20\\ \text{lb}) eu preciso de:
  • o comprimento da manivela r (por exemplo em polegadas ou pés);
  • o comprimento da biela l (mesma unidade de r);
  • confirmação de que a fórmula geométrica usada corresponde à figura do enunciado (algumas figuras medem x a partir de outro referencial ou podem ter sinal distinto);
  • se houver múltiplas manivelas/engrenagens intercambiando torques, a relação de transmissão também.
    Quando você me enviar a figura ou os valores de r e l, eu aplico a fórmula do Passo 5, avalio em \theta=240^\circ e calculo T_{2} passo a passo (sem pular etapas), convertendo unidades se necessário.

Resposta

Não é possível determinar numericamente T_{2} porque a figura/dimensões (comprimentos da manivela r e da biela l) não foram fornecidas.
T_{2}=P\left(-r\sin\theta-\dfrac{r^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\,l^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta\,}}\right).

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