*15.20. A velocidade do bloco de 5 kg quando está a 8 m da superfície da areia é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a força impulsiva média exercida pela areia sobre o bloco, se o impacto tem uma duração de 0,9 \mathrm{~s}. Despreze a distância de penetração do bloco na areia e suponha que ele não ricocheteia. Despreze também o impulso do peso do bloco durante a colisão.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa 5\\ \mathrm{kg} que, quando está a 8\\ \mathrm{m} da superfície da areia, tem velocidade 2\\ \mathrm{m/s} dirigida para baixo. O bloco cai e atinge a areia; no impacto ele não ricocheteia (fica com velocidade zero) e a duração da colisão é 0{,}9\\ \mathrm{s}. Desprezamos a distância de penetração e também o impulso do peso durante a colisão. A pergunta: determinar a força impulsiva média exercida pela areia sobre o bloco durante a colisão.
Informações relevantes:
  • massa: m=5\\ \mathrm{kg};
  • altura até a superfície a partir do ponto onde a velocidade é dada: h=8\\ \mathrm{m};
  • velocidade ao passar por esse ponto: v_1=2\\ \mathrm{m/s} (para baixo);
  • duração do impacto: \Delta t=0{,}9\\ \mathrm{s};
  • desconsiderar impulso do peso durante a colisão.

Passo 2

Vamos primeiro achar a velocidade do bloco imediatamente antes de tocar a areia (velocidade de impacto). Como a queda é livre entre o ponto dado e a superfície e desprezamos resistência do ar, usamos a equação de movimento que relaciona velocidades e deslocamento (equação de Torricelli / cinemática):
v^2 = v_1^2 + 2 g h
onde:
  • v é a velocidade imediatamente antes do impacto (magnitude),
  • v_1 é a velocidade inicial no trecho considerado (aqui 2\\ \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • h é a distância percorrida sob a aceleração g (aqui 8\\ \mathrm{m}).
Explicação da fórmula: essa relação vem da integração da aceleração constante a=g; ela evita ter de calcular tempos intermediários e é muito usada quando sabemos deslocamento e queremos velocidade final.

Passo 3

Substituímos os números na fórmula para achar v:
v^2 = (2)^2 + 2\cdot 9{,}8 \cdot 8 = 4 + 156{,}8 = 160{,}8.
Logo
v = \sqrt{160{,}8}\approx 12{,}68\\ \mathrm{m/s}.
Observação: esse valor é a velocidade imediatamente antes do impacto, apontando para baixo.

Passo 4

Agora vamos usar o conceito de impulso e quantidade de movimento (momentum). A quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida como
p = m v,
onde m é a massa e v a velocidade (vetorial). O impulso J que uma força exerce durante um intervalo de tempo \Delta t é a variação da quantidade de movimento:
J = \Delta p = p_{\text{final}} - p_{\text{inicial}}.
Além disso, o impulso também pode ser escrito como força média vezes tempo:
J = \bar{F}\,\Delta t,
onde \bar{F} é a força média resultante durante o intervalo. No nosso problema, o bloco chega com velocidade para baixo v e sai do impacto com velocidade zero (não ricocheteia), então a variação de momentum é para cima (a areia fornece um impulso para cima que anula o momentum para baixo).
Importante: o enunciado pede para desprezar o impulso do peso durante a colisão; isso significa que consideramos que toda a variação de momentum é causada pela força da areia (o impulso do peso seria mg\Delta t, mas foi desconsiderado).

Passo 5

Calculamos a variação de momento (em módulo):
\Delta p = m (v_{\text{final}} - v_{\text{inicial}}) = 5\cdot (0 - 12{,}68) = -63{,}40\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
O sinal negativo indica que a quantidade de movimento do bloco diminuiu na direção para baixo; em termos de impulso da areia, a areia forneceu um impulso para cima de módulo 63{,}40\\ \mathrm{N\cdot s}.

Passo 6

Agora usamos J=\bar{F}\,\Delta t para achar a força média da areia. Isolando \bar{F}:
\bar{F} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}.
Substituindo os valores (usando o valor de \Delta p calculado):
\bar{F} = \frac{-63{,}40}{0{,}9} \approx -70{,}44\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo indica que a força média resultante (neste cálculo) está para cima se tomarmos para baixo como sentido positivo. Interpretando fisicamente: a areia exerce sobre o bloco uma força média de sentido para cima com módulo aproximadamente 70{,}44\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Resumo físico e observação final: a força média calculada é a força impulsiva média da areia que reduz a velocidade do bloco de 12{,}68\\ \mathrm{m/s} a zero em 0{,}9\\ \mathrm{s}. Repare que, como desconsideramos o impulso do peso durante a colisão, tratamos toda a mudança de momentum como causada pela areia. Se incluíssemos o impulso do peso, a força normal média da areia durante a colisão seria maior (pois teria de compensar também o peso durante o tempo \Delta t).

Resposta

\bar{F} \approx 70{,}4\\ \mathrm{N} (para cima)

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