*15.20. A velocidade do bloco de 5 kg quando está a 8 m da superfície da areia é de
. Determine a força impulsiva média exercida pela areia sobre o bloco, se o impacto tem uma duração de
. Despreze a distância de penetração do bloco na areia e suponha que ele não ricocheteia. Despreze também o impulso do peso do bloco durante a colisão.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
que, quando está a
da superfície da areia, tem velocidade
dirigida para baixo. O bloco cai e atinge a areia; no impacto ele não ricocheteia (fica com velocidade zero) e a duração da colisão é
. Desprezamos a distância de penetração e também o impulso do peso durante a colisão. A pergunta: determinar a força impulsiva média exercida pela areia sobre o bloco durante a colisão.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- massa:
; - altura até a superfície a partir do ponto onde a velocidade é dada:
; - velocidade ao passar por esse ponto:
(para baixo); - duração do impacto:
; - desconsiderar impulso do peso durante a colisão.
Passo 2
Vamos primeiro achar a velocidade do bloco imediatamente antes de tocar a areia (velocidade de impacto). Como a queda é livre entre o ponto dado e a superfície e desprezamos resistência do ar, usamos a equação de movimento que relaciona velocidades e deslocamento (equação de Torricelli / cinemática):
onde:
-
é a velocidade imediatamente antes do impacto (magnitude), -
é a velocidade inicial no trecho considerado (aqui ), -
é a aceleração da gravidade (vou usar ), -
é a distância percorrida sob a aceleração (aqui ).
Explicação da fórmula: essa relação vem da integração da aceleração constante
; ela evita ter de calcular tempos intermediários e é muito usada quando sabemos deslocamento e queremos velocidade final.
Passo 3
Substituímos os números na fórmula para achar
:
Logo
Observação: esse valor é a velocidade imediatamente antes do impacto, apontando para baixo.
Passo 4
Agora vamos usar o conceito de impulso e quantidade de movimento (momentum). A quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida como
onde
é a massa e
a velocidade (vetorial). O impulso
que uma força exerce durante um intervalo de tempo
é a variação da quantidade de movimento:
Além disso, o impulso também pode ser escrito como força média vezes tempo:
onde
é a força média resultante durante o intervalo. No nosso problema, o bloco chega com velocidade para baixo
e sai do impacto com velocidade zero (não ricocheteia), então a variação de momentum é para cima (a areia fornece um impulso para cima que anula o momentum para baixo).
Importante: o enunciado pede para desprezar o impulso do peso durante a colisão; isso significa que consideramos que toda a variação de momentum é causada pela força da areia (o impulso do peso seria
, mas foi desconsiderado).
Passo 5
Calculamos a variação de momento (em módulo):
O sinal negativo indica que a quantidade de movimento do bloco diminuiu na direção para baixo; em termos de impulso da areia, a areia forneceu um impulso para cima de módulo
.
Passo 6
Agora usamos
para achar a força média da areia. Isolando
:
Substituindo os valores (usando o valor de
calculado):
O sinal negativo indica que a força média resultante (neste cálculo) está para cima se tomarmos para baixo como sentido positivo. Interpretando fisicamente: a areia exerce sobre o bloco uma força média de sentido para cima com módulo aproximadamente
.
Passo 7
Resumo físico e observação final: a força média calculada é a força impulsiva média da areia que reduz a velocidade do bloco de
a zero em
. Repare que, como desconsideramos o impulso do peso durante a colisão, tratamos toda a mudança de momentum como causada pela areia. Se incluíssemos o impulso do peso, a força normal média da areia durante a colisão seria maior (pois teria de compensar também o peso durante o tempo
).