A um bloco de 5 lb apoiado num plano a 45^{\circ} dá-se uma velocidade inicial de 10 pés/s para cima. Determine o tempo que o bloco leva para atingir a posição mais alta. Suponha que o plano seja liso.

Passo 1

O enunciado diz:
  • Um bloco de 5\\ \text{lb} recebe velocidade inicial de 10\\ \text{ft/s} para cima ao longo de um plano inclinado a 45^\circ.
  • O plano é liso (sem atrito).
  • Pergunta: determinar o tempo que o bloco leva para atingir a posição mais alta (ou seja, o tempo até a velocidade se anular).
Informações importantes extraídas:
  • Peso do bloco: W=5\\ \text{lb}.
  • Velocidade inicial ao longo do plano (para cima): v_0=10\\ \text{ft/s}.
  • Inclinação: \theta=45^\circ.
  • Sem atrito: única força tangencial ao plano é a componente do peso.
  • No ponto mais alto a velocidade ao longo do plano é v=0.

Passo 2

Vamos escolher o método: usar as leis do movimento (segunda lei de Newton) para achar a aceleração ao longo do plano e então aplicar cinemática retilínea uniformemente variada para achar o tempo até v=0.
Breve aula: a segunda lei de Newton diz que a força resultante na direção do movimento é igual a massa vezes a aceleração:
\sum F = m a.
Aqui precisamos projetar o peso na direção do plano. A componente do peso ao longo do plano (no sentido descendente) é W\sin\theta. Como o bloco sobe inicialmente, essa componente atua contra o movimento (é uma desaceleração).

Passo 3

Mostrando que a aceleração não depende da massa (didático):

A massa do corpo em unidades compatíveis (slugs) é
m=\frac{W}{g},
onde g é a aceleração da gravidade em unidades de \text{ft/s}^2. Substituindo na segunda lei, na direção do plano (positivo para cima do plano, então a força tangencial é negativa):
- W\sin\theta = m a.
Usando m=\dfrac{W}{g} obtemos
- W\sin\theta = \frac{W}{g}\,a.
Cancelando W dos dois lados:
a = - g\sin\theta.
Comentário didático: isso mostra por que a massa some — a aceleração causada pela gravidade ao longo da rampa depende só de g e do ângulo, não da massa.

Passo 4

Calcular numericamente a aceleração. Tomamos a aproximação usual
g=32\\ \text{ft/s}^2,\qquad \sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
a = -g\sin45^\circ = -32\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -16\sqrt{2}\\ \text{ft/s}^2.
Avaliação numérica:
16\sqrt{2}\approx 22,627\\ \text{ft/s}^2,
portanto
a\approx -22,627\\ \text{ft/s}^2.
(O sinal negativo indica que a aceleração aponta para baixo do plano, ou seja, oposta à velocidade inicial que é para cima.)

Passo 5

Agora a cinemática: para movimento com aceleração constante, a velocidade em função do tempo é
v(t)=v_0 + a t.
Queremos o tempo t tal que v(t)=0. Então
0 = v_0 + a t \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{v_0}{a}.
Aqui v_0=10\\ \text{ft/s} e a é negativo, logo o resultado será positivo.

Passo 6

Substituindo os valores:
t = -\frac{10}{-22,627}\\ \text{s} = \frac{10}{22,627}\\ \text{s}.
Calculando:
t \approx 0,442\\ \text{s}.

Resposta

t\approx 0,442\\ \text{s}

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