A um bloco de 5 lb apoiado num plano a
dá-se uma velocidade inicial de 10 pés/s para cima. Determine o tempo que o bloco leva para atingir a posição mais alta. Suponha que o plano seja liso.
Passo 1
O enunciado diz:
- Um bloco de
recebe velocidade inicial de para cima ao longo de um plano inclinado a . - O plano é liso (sem atrito).
- Pergunta: determinar o tempo que o bloco leva para atingir a posição mais alta (ou seja, o tempo até a velocidade se anular).
Informações importantes extraídas:
- Peso do bloco:
. - Velocidade inicial ao longo do plano (para cima):
. - Inclinação:
. - Sem atrito: única força tangencial ao plano é a componente do peso.
- No ponto mais alto a velocidade ao longo do plano é
.
Passo 2
Vamos escolher o método: usar as leis do movimento (segunda lei de Newton) para achar a aceleração ao longo do plano e então aplicar cinemática retilínea uniformemente variada para achar o tempo até
.
Breve aula: a segunda lei de Newton diz que a força resultante na direção do movimento é igual a massa vezes a aceleração:
Aqui precisamos projetar o peso na direção do plano. A componente do peso ao longo do plano (no sentido descendente) é
. Como o bloco sobe inicialmente, essa componente atua contra o movimento (é uma desaceleração).
Passo 3
Mostrando que a aceleração não depende da massa (didático):
A massa do corpo em unidades compatíveis (slugs) é
A massa do corpo em unidades compatíveis (slugs) é
onde
é a aceleração da gravidade em unidades de
. Substituindo na segunda lei, na direção do plano (positivo para cima do plano, então a força tangencial é negativa):
Usando
obtemos
Cancelando
dos dois lados:
Comentário didático: isso mostra por que a massa some — a aceleração causada pela gravidade ao longo da rampa depende só de
e do ângulo, não da massa.
Passo 4
Calcular numericamente a aceleração. Tomamos a aproximação usual
Então
Avaliação numérica:
portanto
(O sinal negativo indica que a aceleração aponta para baixo do plano, ou seja, oposta à velocidade inicial que é para cima.)
Passo 5
Agora a cinemática: para movimento com aceleração constante, a velocidade em função do tempo é
Queremos o tempo
tal que
. Então
Aqui
e
é negativo, logo o resultado será positivo.
Passo 6
Substituindo os valores:
Calculando: