*14.52. O motor M é usado para erguer o elevador com velocidade constante v_{E}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se o motor exige 60 kW de potência elétrica, determine o seu rendimento. Despreze a massa das polias e do cabo.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: a velocidade do elevador é \,v_{E}=8\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Dado: o motor exige potência elétrica de entrada \,P_{in}=60\\ \mathrm{kW}\,.
  • Condição: despreze a massa das polias e do cabo.
  • Pedido: determinar o rendimento (eficiência) do motor.
Informações que o enunciado não dá (e que parecem necessárias): a massa do elevador e sua carga (ou, alternativamente, a diferença entre massa do elevador e contrapeso, ou a força resistente total que o motor precisa vencer). Se existir uma figura com massas ou um contrapeso, essa figura não foi enviada. Sem esses dados específicos não é possível calcular numericamente o rendimento, porque falta a potência mecânica útil gerada pelo motor.

Passo 2

O que é rendimento e a fórmula que vamos usar.
Rendimento (eficiência) é a razão entre a potência útil entregue mecanicamente pelo motor e a potência elétrica fornecida a ele. Em fórmula:
\eta=\frac{P_{out}}{P_{in}},
onde:
  • \eta é o rendimento (adimensional; às vezes expresso em % por 100\eta),
  • \,P_{out} é a potência mecânica útil (saída) — a potência que efetivamente realiza trabalho para erguer o elevador,
  • \,P_{in} é a potência elétrica fornecida ao motor (entrada), aqui \,P_{in}=60\\ \mathrm{kW}.
Explicando: potência é trabalho por unidade de tempo. Para levantar uma massa com velocidade constante, a potência mecânica útil associada ao peso é simplesmente a força peso multiplicada pela velocidade.

Passo 3

Expressão da potência mecânica útil para erguer um corpo a velocidade constante.
Se o motor precisa erguer uma massa total m (e não há contrapeso ou ele já foi considerado no valor efetivo de força), a força que o motor deve vencer verticalmente é o peso \,F=mg, onde:
  • \,m é a massa total do elevador mais carga (em kg),
  • \,g é a aceleração da gravidade (use \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} salvo indicação em contrário).
Como potência é força vezes velocidade quando a força e a velocidade têm a mesma direção:
P_{out}=F\cdot v_{E} = (m g)\,v_{E}.
Se houver um contrapeso de massa m_c, então a força que o motor precisa vencer é a diferença de pesos (m-m_c)g e
P_{out}=(m-m_c)g\,v_{E}.
Se existirem perdas por atrito ou outras resistências, essas devem ser adicionadas à força necessária; aqui o enunciado não fornece essas perdas, então não podemos incluí‑las sem informação.

Passo 4

Como calcular o rendimento passo a passo (receita prática para a prova).
  1. Identifique a massa efetiva que o motor tem que erguer: seja m (ou m-m_c se houver contrapeso). Essa é a informação que falta no enunciado.
  2. Calcule a potência mecânica útil usando
P_{out}=(\text{massa efetiva})\times g \times v_{E}.
  1. Substitua \,P_{in}=60\\ \mathrm{kW} e aplique
\eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}.
  1. Converta unidades se necessário (por exemplo, garantir que P_{out} esteja em \mathrm{kW} ao dividir por \,P_{in} em \mathrm{kW}).
Observação didática: sempre cheque unidades. Se m em kg, g em \mathrm{m/s^{2}} e v_{E} em \mathrm{m/s}, então P_{out} sai em watts. Para comparar com 60\\ \mathrm{kW} converta para kW dividindo por 1000.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (para você ver como aplicar a receita na prova). Aqui eu escolho uma massa plausível só para mostrar o cálculo — atenção: esse valor não veio do enunciado original.
Suponha m=600\\ \mathrm{kg} (e sem contrapeso). Então:
P_{out}=m g v_{E}=600\cdot 9{,}81\cdot 8.
Calcule passo a passo:
600\cdot 9{,}81 = 5886\quad(\mathrm{N}),
5886\cdot 8 = 47088\quad(\mathrm{W})=47{,}088\\ \mathrm{kW}.
Agora o rendimento:
\eta=\frac{47{,}088\\ \mathrm{kW}}{60\\ \mathrm{kW}}=0{,}7848\approx 78{,}5\%.
Interpretação: com m=600\\ \mathrm{kg} o motor teria rendimento \approx 78{,}5\%. Esse exemplo mostra a aplicação; se você tiver outro valor de massa, repete-se o mesmo procedimento.

Passo 6

Conclusão sobre o enunciado que você me enviou.
O enunciado que recebi não informa a massa do elevador (nem a massa do contrapeso, nem forças resistivas). Sem essa informação não é possível calcular numericamente a potência mecânica útil \,P_{out} e, portanto, não é possível obter o rendimento numérico do motor. Para resolver numericamente preciso de pelo menos uma das seguintes informações:
  • a massa total do elevador com carga m, ou
  • a massa do elevador e do contrapeso para calcular m-m_c, ou
  • a força (ou potência) resistiva total que o motor vence ao erguer o elevador.
Se você me passar esse dado eu faço o cálculo passo a passo até a resposta final e te explico cada conta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o rendimento pois falta a massa do elevador (ou a massa do contrapeso / força resistiva) necessária para calcular a potência mecânica útil.

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