15.21 Um corte ortogonal é realizado em um metal cujo calor específico de massa =1,0 \mathrm{~J} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, densidade =2,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3 e difusividade térmica =0,8 \mathrm{~cm} 2 / \mathrm{s} . \mathrm{A} velocidade de corte é de 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, espessura do cavaco indeformado é de 0,25 mm e largura de corte é de 2,2 \mathrm{~mm}. A força de corte é medida em 1170 N . Pela equação de Cook, determine a temperatura de corte, supondo que a temperatura ambiente =22^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a temperatura de corte usando a equação de Cook, dado um corte ortogonal com os seguintes dados:
  • calor específico de massa: c=1{,}0\\ \mathrm{J/g\,^\circ C} (ou seja c=1000\\ \mathrm{J/kg\,^\circ C});
  • densidade: \rho=2{,}9\\ \mathrm{g/cm^3} (ou seja \rho=2900\\ \mathrm{kg/m^3});
  • difusividade térmica: \alpha=0{,}8\\ \mathrm{cm^2/s} (não será necessária na conta que usaremos);
  • velocidade de corte: v=4{,}5\\ \mathrm{m/s};
  • espessura do cavaco indeformado: t_0=0{,}25\\ \mathrm{mm} (ou seja t_0=0{,}00025\\ \mathrm{m});
  • largura de corte: w=2{,}2\\ \mathrm{mm} (ou seja w=0{,}0022\\ \mathrm{m});
  • força de corte: F_c=1170\\ \mathrm{N};
  • temperatura ambiente: T_0=22{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
O que se quer: a temperatura de corte T (temperatura alcançada pelo cavaco / zona de remoção) usando a equação de Cook.

Passo 2

Entendendo a ideia física e a equação que vamos usar (a “aula rápida” com calma e jeitinho): a forma simples e prática da equação de Cook baseia-se num balanço de energia em regime estacionário, assumindo que a potência mecânica de corte é convertida em calor principalmente no cavaco. Assim, a potência mecânica que o operador fornece é
P = F_c\,v,
e essa potência (J/s) aquece a massa de material removida por segundo. A massa de cavaco removida por segundo (vazão mássica) é dada por conservação de massa:
\dot m = \rho\,w\,t_0\,v.
Se toda a potência P for absorvida pelo cavaco e usada para aumentar sua temperatura, o balanço de energia é
P = \dot m \, c \, (T - T_0).
Dessa equação isolamos T:
T = T_0 + \frac{P}{\dot m\,c}.
Observações importantes (assunções): estamos assumindo que uma fração muito grande da energia vai para o cavaco (eficiência térmica \eta\approx1); estamos ignorando calor perdido para a ferramenta e para a peça durante o curto intervalo de geração do cavaco. Essas hipóteses são comuns para estimativas rápidas e são exatamente o espírito da equação de Cook usada em provas.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot m. Primeiro calcule a área de corte w\cdot t_0:
w\cdot t_0 = 0{,}0022\times0{,}00025 = 5{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.
Agora
\dot m = \rho\,w\,t_0\,v = 2900\times 5{,}5\times10^{-7}\times 4{,}5.
Faço as contas em etapas:
2900\times 5{,}5\times10^{-7} = 0{,}001595
0{,}001595\times 4{,}5 = 0{,}0071775\\ \mathrm{kg/s}.
Portanto
\dot m = 0{,}0071775\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Calcular a potência mecânica de corte P:
P = F_c\,v = 1170\times 4{,}5 = 5265\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Aplicar o balanço de energia e isolar T. A equação já dada:
T = T_0 + \frac{P}{\dot m\,c}.
Calcule o denominador \dot m\,c. Lembre que c=1000\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}:
\dot m\,c = 0{,}0071775\times 1000 = 7{,}1775\\ \mathrm{J/(^\circ C\cdot s)}.

Passo 6

Calcular a elevação de temperatura e a temperatura final:
\Delta T = \frac{P}{\dot m\,c} = \frac{5265}{7{,}1775} \approx 733{,}66\\ ^\circ\mathrm{C}.
Logo
T = T_0 + \Delta T = 22{,}0 + 733{,}66 \approx 755{,}66\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para três algarismos significativos,
T \approx 756\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Comentário final, tipo papo de amigo: esse resultado é uma estimativa razoável para provas e exercícios que usam a equação de Cook na versão energética. Na prática, nem toda a potência vai para o cavaco (alguma vai para ferramenta e peça) e há condução e convecção; se fosse incluída uma eficiência \eta<1 a temperatura calculada cairia (por exemplo T = T_0 + \eta\cdot P/(\dot m c)). A difusividade térmica fornecida no enunciado entra em modelos mais detalhados de distribuição de temperatura (soluções de fonte térmica em movimento), mas não é necessária para o balanço energético simples usado acima.

Resposta

T \approx 756\\ ^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados