3.15 Um autoestado de momento angular \left|j, m=m_{\max }=j\right\rangle é rodado por um ângulo infinitesimal \varepsilon em torno do eixo y. Sem usar a forma explícita da função d_{m^{\prime} m}^{(j)}, obtenha uma expressão para a probabilidade do novo estado rodado ser encontrado no estado original até termos de ordem \varepsilon^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um autoestado de momento angular inicial \left|j,m=j\right\rangle. Esse estado é sujeito a uma rotação por um ângulo infinitesimal \varepsilon em torno do eixo y. A questão pede a probabilidade de que o estado rotado seja encontrado no mesmo estado original \left|j,m=j\right\rangle, incluindo termos até ordem \varepsilon^{2}. Informações relevantes: o operador gerador da rotação em torno de y é J_{y} e a rotação finita é \exp\!\big(-\tfrac{i}{\hbar}\varepsilon J_{y}\big). Não temos de usar a forma explícita das funções d^{(j)}_{m'm}.

Passo 2

Escrevemos o operador de rotação e expandimos para pequeno \varepsilon. O operador de rotação em torno do eixo y é
R_{y}(\varepsilon)=\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\varepsilon J_{y}\right).
Para \varepsilon pequeno usamos a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em potências):
R_{y}(\varepsilon)=\mathbb{1}-\frac{i}{\hbar}\varepsilon J_{y}-\frac{1}{2}\left(\frac{i}{\hbar}\varepsilon J_{y}\right)^{2}+O(\varepsilon^{3}).𝟙
Esta expansão é válida porque \varepsilon é pequeno; só manteremos termos até \varepsilon^{2}.

Passo 3

A amplitude de permanecer no estado original após a rotação é
A(\varepsilon)=\left\langle j,j\right|R_{y}(\varepsilon)\left|j,j\right\rangle.
Substituindo a expansão:
A(\varepsilon)=1-\frac{i}{\hbar}\varepsilon\left\langle j,j\right|J_{y}\left|j,j\right\rangle-\frac{1}{2}\frac{\varepsilon^{2}}{\hbar^{2}}\left\langle j,j\right|J_{y}^{2}\left|j,j\right\rangle+O(\varepsilon^{3}).
Portanto, precisamos calcular \left\langle j,j\right|J_{y}\left|j,j\right\rangle e \left\langle j,j\right|J_{y}^{2}\left|j,j\right\rangle.

Passo 4

Lembre-se das expressões dos operadores de subida e descida:
J_{\pm}=J_{x}\pm iJ_{y},
o que implica
J_{y}=\frac{1}{2i}\big(J_{+}-J_{-}\big).
A ação de J_{\pm} sobre \left|j,m\right\rangle é
J_{\pm}\left|j,m\right\rangle=\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}\,\left|j,m\pm1\right\rangle.
No caso m=j temos J_{+}\left|j,j\right\rangle=0 (não dá para subir além de j) e
J_{-}\left|j,j\right\rangle=\hbar\sqrt{j(j+1)-j(j-1)}\,\left|j,j-1\right\rangle=\hbar\sqrt{2j}\,\left|j,j-1\right\rangle.

Passo 5

Usando a fórmula de J_{y} obtemos a ação em \left|j,j\right\rangle:
J_{y}\left|j,j\right\rangle=\frac{1}{2i}\big(0 - J_{-}\big)\left|j,j\right\rangle=-\frac{1}{2i}\hbar\sqrt{2j}\,\left|j,j-1\right\rangle.
Disto segue que o valor esperado de J_{y} no estado \left|j,j\right\rangle é
\left\langle j,j\right|J_{y}\left|j,j\right\rangle=0,
porque \left|j,j-1\right\rangle é ortonormal a \left|j,j\right\rangle.

Passo 6

Agora calculamos \left\langle j,j\right|J_{y}^{2}\left|j,j\right\rangle. Uma maneira simples é observar que, por hermiticidade,
\left\langle j,j\right|J_{y}^{2}\left|j,j\right\rangle=\big\lVert J_{y}\left|j,j\right\rangle\big\rVert^{2}.
Usando a expressão encontrada para J_{y}\left|j,j\right\rangle:
\big\lVert J_{y}\left|j,j\right\rangle\big\rVert^{2}=\left(\frac{\hbar\sqrt{2j}}{2}\right)^{2}=\frac{\hbar^{2}}{4}\,2j=\frac{\hbar^{2}j}{2}.
Portanto
\left\langle j,j\right|J_{y}^{2}\left|j,j\right\rangle=\frac{\hbar^{2}j}{2}.

Passo 7

Voltemos à expansão da amplitude. Sabendo que o termo linear é zero, temos
A(\varepsilon)=1-\frac{1}{2}\frac{\varepsilon^{2}}{\hbar^{2}}\left\langle j,j\right|J_{y}^{2}\left|j,j\right\rangle+O(\varepsilon^{3}).
Substituindo \left\langle J_{y}^{2}\right\rangle=\hbar^{2}j/2:
A(\varepsilon)=1-\frac{1}{2}\frac{\varepsilon^{2}}{\hbar^{2}}\cdot\frac{\hbar^{2}j}{2}+O(\varepsilon^{3})=1-\frac{j}{4}\varepsilon^{2}+O(\varepsilon^{3}).

Passo 8

A probabilidade procurada é o módulo ao quadrado da amplitude:
P(\varepsilon)=\big|A(\varepsilon)\big|^{2}.
Como A(\varepsilon) é real até ordem \varepsilon^{2}, expandimos:
P(\varepsilon)=\left(1-\frac{j}{4}\varepsilon^{2}+O(\varepsilon^{3})\right)^{2}=1-\frac{j}{2}\varepsilon^{2}+O(\varepsilon^{3}).
Assim, até termos de ordem \varepsilon^{2}, a redução da probabilidade é \tfrac{j}{2}\varepsilon^{2}.

Resposta

P(\varepsilon)=1-\dfrac{j}{2}\,\varepsilon^{2}+O(\varepsilon^{3})

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