3.15 Um autoestado de momento angular \left|j, m=m_{\max }=j\right\rangle é rodado por um ângulo infinitesimal \varepsilon em torno do eixo y. Sem usar a forma explícita da função d_{m^{\prime} m}^{(j)}, obtenha uma expressão para a probabilidade do novo estado rodado ser encontrado no estado original até termos de ordem \varepsilon^{2}.
Passo 1
O enunciado dá um autoestado de momento angular inicial \left|j,m=j\right\rangle. Esse estado é sujeito a uma rotação por um ângulo infinitesimal \varepsilon em torno do eixo y. A questão pede a probabilidade de que o estado rotado seja encontrado no mesmo estado original \left|j,m=j\right\rangle, incluindo termos até ordem \varepsilon^{2}. Informações relevantes: o operador gerador da rotação em torno de y é J_{y} e a rotação finita é \exp\!\big(-\tfrac{i}{\hbar}\varepsilon J_{y}\big). Não temos de usar a forma explícita das funções d^{(j)}_{m'm}.
Passo 2
Escrevemos o operador de rotação e expandimos para pequeno \varepsilon. O operador de rotação em torno do eixo y é