3.7 Considere uma partícula de spin 1. Calcule o elemento de matriz de
S_{z}\left(S_{z}+\hbar\right)\left(S_{z}-\hbar\right) \text { e } S_{x}\left(S_{x}+\hbar\right)\left(S_{x}-\hbar\right)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular os elementos de matriz (ou seja, a representação matricial completa) dos operadores
S_{z}\bigl(S_{z}+\hbar\bigr)\bigl(S_{z}-\hbar\bigr)
e
S_{x}\bigl(S_{x}+\hbar\bigr)\bigl(S_{x}-\hbar\bigr).
Informações dadas e convenções que vamos usar:
  • A partícula tem spin 1, logo os autovalores de qualquer componente do spin são m\hbar com m\in\{1,0,-1\}.
  • Vamos trabalhar na base própria de S_z, ordenada como \{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\}, na qual S_z|m\rangle = m\hbar|m\rangle.
  • Vou mostrar passo a passo como montar as matrizes e por que os dois operadores resultam numa matriz nula (tudo explicado com calma).

Passo 2

Matriz de S_z na base \{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\}.
Como S_z|1\rangle = 1\hbar|1\rangle, S_z|0\rangle = 0\hbar|0\rangle, S_z|-1\rangle = -1\hbar|-1\rangle, a matriz de S_z é diagonal:
S_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: cada elemento diagonal é o autovalor correspondente ao estado da base; elementos fora da diagonal são zero porque S_z não conecta estados com valores diferentes de m.]

Passo 3

Calcular S_z(S_z+\hbar)(S_z-\hbar) aproveitando que S_z é diagonal.
Quando um operador é diagonal na base considerada, o produto de operadores que sejam polinômios de S_z é obtido multiplicando os autovalores correspondentes em cada componente diagonal. Defina o polinômio
p(\lambda)=\lambda(\lambda+\hbar)(\lambda-\hbar).
Para os autovalores \lambda = m\hbar com m\in\{1,0,-1\} temos:
  • Para m=1: p(\hbar)=\hbar(\hbar+\hbar)(\hbar-\hbar)=\hbar\cdot 2\hbar\cdot 0 = 0.
  • Para m=0: p(0)=0\cdot(\hbar)\cdot(-\hbar)=0.
  • Para m=-1: p(-\hbar)=-\hbar\cdot 0\cdot(-2\hbar)=0.
Portanto cada elemento diagonal do produto é zero, e como não há elementos fora da diagonal inicialmente (e o produto de diagonais continua diagonal), o operador é a matriz nula:
S_z\bigl(S_z+\hbar\bigr)\bigl(S_z-\hbar\bigr) = \mathbf{0}_{3\times3}.

Passo 4

Matriz de S_x na base de S_z — construção usando operadores escalão S_\pm.
Relembrando a fórmula para operadores escalão (ladder operators) em spin s:
S_{\pm}|s,m\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1)-m(m\pm1)}\,|s,m\pm1\rangle.
Aqui s=1. Calculamos os coeficientes:
  • Para s=1: \sqrt{1\cdot 2 - m(m\pm1)}. Em particular aparece sempre \sqrt{2} nas transições entre estados vizinhos.
A matriz de S_+ na base \{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\} é
S_+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
pois S_+|0\rangle = \hbar\sqrt{2}\,|1\rangle (então elemento (1,2) é \hbar\sqrt{2}) e S_+|-1\rangle=\hbar\sqrt{2}\,|0\rangle (então elemento (2,3) é \hbar\sqrt{2}).
A matriz de S_- é a adjunta:
S_- = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] \sqrt{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.
Como S_x = \dfrac{S_+ + S_-}{2}, obtemos
S_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0\\[4pt] \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação: (\hbar/2)\sqrt{2} = \hbar/\sqrt{2}.]

Passo 5

Por que S_x(S_x+\hbar)(S_x-\hbar) também é a matriz nula — argumento espectral (rotacional).
Aqui há duas formas de ver isso; a mais elegante é por simetria/rotacão:
  • Qualquer componente do spin (por exemplo S_z ou S_x) tem o mesmo conjunto de autovalores \{ \hbar,0,-\hbar\} para spin 1. Intuitivamente, S_x é apenas S_z rotacionado por 90^\circ em torno do eixo y. Matematicamente existe uma unidade U (rotação) tal que
S_x = U S_z U^\dagger.
  • Se definirmos o polinômio operador p(A)=A(A+\hbar)(A-\hbar), então
p(S_x) = p(U S_z U^\dagger) = U\,p(S_z)\,U^\dagger.
Já demonstramos no Passo 3 que p(S_z)=0. Assim
p(S_x)=U\,0\,U^\dagger = 0.
Logo S_x(S_x+\hbar)(S_x-\hbar) é a matriz nula também.
Observação alternativa (mais laboriosa): poderíamos multiplicar explicitamente a matriz de S_x do Passo 4 pelos termos (S_x\pm\hbar) e verificar que cada entrada do produto é zero; o argumento pela rotação evita cálculo pesado e é conceitualmente direto.

Passo 6

Conclusão prática — as duas matrizes pedidas são a matriz zero 3\times3. Vou escrever explicitamente as duas representações (na base de S_z usada):
S_z\bigl(S_z+\hbar\bigr)\bigl(S_z-\hbar\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S_x\bigl(S_x+\hbar\bigr)\bigl(S_x-\hbar\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

S_z\bigl(S_z+\hbar\bigr)\bigl(S_z-\hbar\bigr)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
S_x\bigl(S_x+\hbar\bigr)\bigl(S_x-\hbar\bigr)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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