Explicação rápida: cada elemento diagonal é o autovalor correspondente ao estado da base; elementos fora da diagonal são zero porque S_z não conecta estados com valores diferentes de m.]
Passo 3
Calcular S_z(S_z+\hbar)(S_z-\hbar) aproveitando que S_z é diagonal.
Quando um operador é diagonal na base considerada, o produto de operadores que sejam polinômios de S_z é obtido multiplicando os autovalores correspondentes em cada componente diagonal. Defina o polinômio
p(\lambda)=\lambda(\lambda+\hbar)(\lambda-\hbar).
Para os autovalores \lambda = m\hbar com m\in\{1,0,-1\} temos:
Para m=1: p(\hbar)=\hbar(\hbar+\hbar)(\hbar-\hbar)=\hbar\cdot 2\hbar\cdot 0 = 0.
Para m=0: p(0)=0\cdot(\hbar)\cdot(-\hbar)=0.
Para m=-1: p(-\hbar)=-\hbar\cdot 0\cdot(-2\hbar)=0.
Portanto cada elemento diagonal do produto é zero, e como não há elementos fora da diagonal inicialmente (e o produto de diagonais continua diagonal), o operador é a matriz nula:
pois S_+|0\rangle = \hbar\sqrt{2}\,|1\rangle (então elemento (1,2) é \hbar\sqrt{2}) e S_+|-1\rangle=\hbar\sqrt{2}\,|0\rangle (então elemento (2,3) é \hbar\sqrt{2}).
Por que S_x(S_x+\hbar)(S_x-\hbar) também é a matriz nula — argumento espectral (rotacional).
Aqui há duas formas de ver isso; a mais elegante é por simetria/rotacão:
Qualquer componente do spin (por exemplo S_z ou S_x) tem o mesmo conjunto de autovalores \{ \hbar,0,-\hbar\} para spin 1. Intuitivamente, S_x é apenas S_z rotacionado por 90^\circ em torno do eixo y. Matematicamente existe uma unidade U (rotação) tal que
S_x = U S_z U^\dagger.
Se definirmos o polinômio operador p(A)=A(A+\hbar)(A-\hbar), então
Logo S_x(S_x+\hbar)(S_x-\hbar) é a matriz nula também.
Observação alternativa (mais laboriosa): poderíamos multiplicar explicitamente a matriz de S_x do Passo 4 pelos termos (S_x\pm\hbar) e verificar que cada entrada do produto é zero; o argumento pela rotação evita cálculo pesado e é conceitualmente direto.
Passo 6
Conclusão prática — as duas matrizes pedidas são a matriz zero 3\times3. Vou escrever explicitamente as duas representações (na base de S_z usada):