15^{\circ} ) A aceleração da gravidade determinada pela máquina de ATWOOD é dada pela fórmula g=\frac{82 s}{t^{2}}. Suponha que os valores reais de s e t são s=48 \mathrm{~cm} e t=2 s. Calcule o erro máximo possível no cálculo de g se as medidas de s e t estão sujeito a um erro máximo de 2 \%.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula experimental da gravidade numa máquina de Atwood
g = \frac{82\,s}{t^{2}}
onde s é o espaço percorrido e t o tempo. Sabemos que os valores reais são s=48 cm e t=2 s, e que ambos estão sujeitos a erro máximo de 2\%. Vamos usar propagação de erros (aproximação diferencial) para estimar o erro máximo em g.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor nominal de g com s=48 cm e t=2 s:
g = \frac{82 \cdot 48}{2^{2}} = \frac{3936}{4} = 984\;\mathrm{cm/s^{2}}.
Convertendo para o SI, 984\;\mathrm{cm/s^{2}} = 9,84\;\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Para propagação de erro, lembramos que se
g = 82\,s\,t^{-2}
então, na aproximação diferencial,
\frac{\Delta g}{g} \approx \frac{\Delta s}{s} + 2\,\frac{\Delta t}{t}.
Como os erros relativos máximos são \Delta s/s = 0{,}02 e \Delta t/t = 0{,}02, temos
\frac{\Delta g}{g} \approx 0{,}02 + 2\cdot 0{,}02 = 0{,}06.

Passo 4

O erro relativo máximo em g é 6\%. Logo o erro absoluto máximo vale
\Delta g = 0{,}06 \times 9{,}84\;\mathrm{m/s^{2}} \approx 0{,}59\;\mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

O valor de g é 9{,}84\;\mathrm{m/s^{2}} com erro máximo de aproximadamente \pm 0{,}59\;\mathrm{m/s^{2}}.

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