16^{\circ} ) Se f(x, y)=x^{2}-4 x y e \vec{u} é um vetor unitário \operatorname{com} \theta=\frac{\pi}{3}. Calcule.
a) D \vec{u} f(x, y)
b)Quanto vale D \vec{u} f(-3,2) ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^2-4xy
na direção do vetor unitário \vec{u} que faz ângulo \theta=\tfrac{\pi}{3} com o eixo x. Sabemos que
D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u}.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-4x,
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\nabla f(x,y)=\bigl(2x-4y,\,-4x\bigr).

Passo 3

Expressar o vetor unitário \vec{u} em função de \theta=\tfrac{\pi}{3}. Temos
\vec{u}=(\cos\theta,\sin\theta) =(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}).

Passo 4

Fazer o produto escalar
D_{\vec{u}}f(x,y) =\nabla f(x,y)\cdot\vec{u} =(2x-4y)\cos\theta+(-4x)\sin\theta.
Substituindo \cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac12 e \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2},
D_{\vec{u}}f(x,y) =(2x-4y)\tfrac12+(-4x)\tfrac{\sqrt3}{2} =x-2y-2\sqrt3\,x =x\bigl(1-2\sqrt3\bigr)-2y.

Passo 5

Avaliar em (x,y)=(-3,2):
D_{\vec{u}}f(-3,2) =(-3)\bigl(1-2\sqrt3\bigr)-2\cdot2 =-3+6\sqrt3-4 =6\sqrt3-7.

Resposta

a) \displaystyle D_{\vec{u}}f(x,y)=x\bigl(1-2\sqrt3\bigr)-2y.
b) \displaystyle D_{\vec{u}}f(-3,2)=6\sqrt3-7.

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