15.1 Every function
has a Laplace transform.
(a) True
(b) False
(a) True
(b) False
Passo 1
Enunciado: Decidir se a afirmação “Every function
has a Laplace transform.” é verdadeira ou falsa, escolhendo entre (a) True e (b) False.
Informações dadas: nenhuma função específica — a afirmação fala de "toda função ".
O que é pedido: mostrar se a afirmação é verdadeira para todas as funções ou se existe pelo menos uma função que não tem transformada de Laplace.
Informações dadas: nenhuma função específica — a afirmação fala de "toda função
O que é pedido: mostrar se a afirmação é verdadeira para todas as funções ou se existe pelo menos uma função que não tem transformada de Laplace.
Passo 2
Definição (essencial para entender o que significa “ter transformada de Laplace”): a transformada de Laplace de uma função
é a integral imprópria
quando essa integral converge (ou seja, tem valor finito). Aqui
normalmente é um número complexo e
é a variável real positiva. Convergência significa que o limite
existe e é finito (e também que não haja divergência em
se
for singular aí).
Passo 3
Explicando didaticamente por que nem toda função tem transformada: a existência da transformada depende da convergência da integral acima. Para essa integral convergir precisamos controlar o comportamento de
em duas regiões principais:
- Próximo a
(problemas de singularidade / descontinuidade). - Quando
(crescimento da função).
Uma condição prática e bastante usada em teoria é: se
for contínua por partes em
e de ordem exponencial, então a transformada existe para valores de
suficientemente grandes (em parte real). Vou explicar essa condição.
Passo 4
Definição de “ordem exponencial” (explicada com calma): dizemos que
é de ordem exponencial
se existem constantes
e
tais que
Aqui
é um número real que controla a taxa máxima de crescimento: se
for pequeno,
cresce devagar; se
for grande,
pode crescer rápido. Essa condição é útil porque permite comparar a integral com uma integral exponencial conhecida.
Passo 5
Por que essa condição garante convergência (passo a passo, sem pular etapas): suponha que
para
. Então, para
complexo,
Se
, então o expoente
é negativo com coeficiente positivo, e a função
é integrável em
(porque é uma exponencial decrescente). Pelo teste de comparação para integrais impróprias, a integral
converge absolutamente quando
. Conclusão: a condição de ordem exponencial (juntamente com continuidade por partes em
) é suficiente para garantir existência da transformada em uma meia-plana
.
Passo 6
Mas atenção: a existência para muitas funções não é garantida automaticamente — existem funções que violam essa condição e cuja integral não converge. Para demonstrar que a afirmação “toda função tem transformada de Laplace” é falsa, basta fornecer contraexemplos. Vou dar dois exemplos simples, cobrindo problemas em
e em
.
Exemplo 1 (divergência por crescimento muito rápido quando
). Considere
. Queremos ver que
não converge para nenhum
(e, portanto, não existe transformada de Laplace usual). Faça assim: escolha
. Para
temos
e
, portanto
pois para
temos
, e para
temos
. Assim, para
,
Como
diverge (é infinito), pelo teste de comparação a integral da função original diverge também. Logo
não tem transformada de Laplace.
Exemplo 2 (divergência por singularidade em
). Considere
para
. Olhe a integral no intervalo próximo a zero:
Para
temos
(porque
). Assim
Mas
diverge (logaritmo que vai para
no limite inferior), então a integral de Laplace também diverge. Logo
não tem transformada de Laplace (no sentido usual a partir de
).
Passo 7
Conclusão didática: a transformada de Laplace existe apenas para funções cuja integral imprópria
converge. Há condições suficientes (por exemplo, continuidade por partes e ordem exponencial) que garantem existência para
suficientemente grande, mas nem toda função satisfaz essas condições. Já exibimos funções simples que não têm transformada de Laplace, portanto a afirmação “toda função
tem transformada de Laplace” é falsa.
Resposta
(b) False