15.1 Every function f(t) has a Laplace transform.
(a) True
(b) False

Passo 1

Enunciado: Decidir se a afirmação “Every function f(t) has a Laplace transform.” é verdadeira ou falsa, escolhendo entre (a) True e (b) False.
Informações dadas: nenhuma função específica — a afirmação fala de "toda função f(t)".
O que é pedido: mostrar se a afirmação é verdadeira para todas as funções ou se existe pelo menos uma função que não tem transformada de Laplace.

Passo 2

Definição (essencial para entender o que significa “ter transformada de Laplace”): a transformada de Laplace de uma função f é a integral imprópria
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
quando essa integral converge (ou seja, tem valor finito). Aqui s normalmente é um número complexo e t é a variável real positiva. Convergência significa que o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-st}f(t)\,dt
existe e é finito (e também que não haja divergência em t=0 se f for singular aí).

Passo 3

Explicando didaticamente por que nem toda função tem transformada: a existência da transformada depende da convergência da integral acima. Para essa integral convergir precisamos controlar o comportamento de f(t) em duas regiões principais:
  1. Próximo a t=0 (problemas de singularidade / descontinuidade).
  2. Quando t\to\infty (crescimento da função).
Uma condição prática e bastante usada em teoria é: se f for contínua por partes em [0,\infty) e de ordem exponencial, então a transformada existe para valores de s suficientemente grandes (em parte real). Vou explicar essa condição.

Passo 4

Definição de “ordem exponencial” (explicada com calma): dizemos que f(t) é de ordem exponencial a se existem constantes M>0 e T\ge 0 tais que
|f(t)|\le M e^{a t}\quad\text{para todo } t\ge T.
Aqui a é um número real que controla a taxa máxima de crescimento: se a for pequeno, f cresce devagar; se a for grande, f pode crescer rápido. Essa condição é útil porque permite comparar a integral com uma integral exponencial conhecida.

Passo 5

Por que essa condição garante convergência (passo a passo, sem pular etapas): suponha que |f(t)|\le M e^{a t} para t\ge T. Então, para s complexo,
|e^{-st}f(t)| = |e^{-st}|\,|f(t)| = e^{-\Re(s)\,t}\,|f(t)| \le M e^{-(\Re(s)-a)t}\quad\text{para } t\ge T.
Se \Re(s)>a, então o expoente -(\Re(s)-a)t é negativo com coeficiente positivo, e a função M e^{-(\Re(s)-a)t} é integrável em [T,\infty) (porque é uma exponencial decrescente). Pelo teste de comparação para integrais impróprias, a integral
\int_T^\infty e^{-st}f(t)\,dt
converge absolutamente quando \Re(s)>a. Conclusão: a condição de ordem exponencial (juntamente com continuidade por partes em [0,\infty)) é suficiente para garantir existência da transformada em uma meia-plana \Re(s)>a.

Passo 6

Mas atenção: a existência para muitas funções não é garantida automaticamente — existem funções que violam essa condição e cuja integral não converge. Para demonstrar que a afirmação “toda função tem transformada de Laplace” é falsa, basta fornecer contraexemplos. Vou dar dois exemplos simples, cobrindo problemas em t\to\infty e em t\to 0.
Exemplo 1 (divergência por crescimento muito rápido quando t\to\infty). Considere f(t)=e^{t^{2}}. Queremos ver que
\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{t^{2}}\,dt
não converge para nenhum s\in\mathbb{R} (e, portanto, não existe transformada de Laplace usual). Faça assim: escolha T=\max\{2,2|s|\}. Para t\ge T temos t\ge 2|s| e t\ge 2, portanto
t^2 - |s|t \ge t^2 - \tfrac{1}{2}t^2 = \tfrac{1}{2}t^2,
pois para t\ge 2|s| temos |s|t\le \tfrac{1}{2}t^2, e para t\ge 2 temos \tfrac{1}{2}t^2\ge t. Assim, para t\ge T,
e^{-st} e^{t^2} \ge e^{t^2 - |s|t} \ge e^{\tfrac{1}{2}t^2} \ge e^{t}.
Como \int_T^\infty e^{t}\,dt diverge (é infinito), pelo teste de comparação a integral da função original diverge também. Logo f(t)=e^{t^2} não tem transformada de Laplace.
Exemplo 2 (divergência por singularidade em t=0). Considere f(t)=1/t para t>0. Olhe a integral no intervalo próximo a zero:
\int_0^1 e^{-st}\frac{1}{t}\,dt.
Para 0\le t\le 1 temos e^{-st}\ge e^{-|s|} (porque |e^{-st}|=e^{-\Re(s)t}\ge e^{-|s|t}\ge e^{-|s|}). Assim
\int_0^1 e^{-st}\frac{1}{t}\,dt \ge e^{-|s|}\int_0^1 \frac{1}{t}\,dt.
Mas \int_0^1 \frac{1}{t}\,dt diverge (logaritmo que vai para -\infty no limite inferior), então a integral de Laplace também diverge. Logo f(t)=1/t não tem transformada de Laplace (no sentido usual a partir de 0).

Passo 7

Conclusão didática: a transformada de Laplace existe apenas para funções cuja integral imprópria
\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
converge. Há condições suficientes (por exemplo, continuidade por partes e ordem exponencial) que garantem existência para \Re(s) suficientemente grande, mas nem toda função satisfaz essas condições. Já exibimos funções simples que não têm transformada de Laplace, portanto a afirmação “toda função f(t) tem transformada de Laplace” é falsa.

Resposta

(b) False

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