Em um protótipo de filtragem digital para cancelamento de ecos, sinais discretos curtos (com suporte finito) são combinados diretamente por soma antes de passarem por outros blocos do sistema. Considere os sinais a seguir, definidos por combinações de deltas unitárias:
.Para a etapa inicial de integração entre módulos, o engenheiro propõe analisar a soma dos sinais (não a convolução), definida por:
- Resolva
utilizando o método das fitas: construa as “fitas” de
e
alinhadas sobre o eixo
. some graficamente as amplitudes amostra a amostra e identifique o suporte resultante.
- Determine analiticamente
, escrevendo-o na forma de soma de deltas com os coeficientes corretos.
- Represente graficamente
em diagrama de hastes, mostrando claramente os valores de
e as amplitudes correspondentes.
- Comente brevemente o suporte de
e explique como a superposição de amostras comuns a
e
afetou os valores finais.
Instruções de apresentação:
- O uso do método das fitas é obrigatório para a construção passo a passo de
.
- Apresente a solução de forma organizada: primeiro as fitas alinhadas, depois a expressão final e, por fim, o gráfico resultante.
- Identifique claramente as posições de
e as amplitudes somadas.
Passo 1
O enunciado dá os sinais discretos curtos e pede quatro coisas claras. Vou listar tudo para não nos perder:
- Dados (dados diretamente pelo enunciado):
- Perguntas (o que precisamos responder):
- Construir as “fitas” de
e alinhadas sobre o eixo ; somar amostra a amostra graficamente e identificar o suporte resultante. - Determinar analiticamente
escrevendo como soma de deltas com coeficientes. - Representar graficamente
em diagrama de hastes (stem plot), mostrando os valores de e as amplitudes. - Comentar brevemente o suporte de
e explicar como a superposição das amostras comuns afetou os valores finais.
- Construir as “fitas” de
Observação: nas próximas etapas vou usar o método das fitas passo a passo, construir tabelas com as amostras e mostrar onde ocorre sobreposição.
Passo 2
Pequena revisão do que é uma delta unitária discreta — isso ajuda a entender as fitas.
- Definição: a função delta discreta
- Consequência prática: escrever
tem valores não nulos somente em
com amplitudes respectivamente.
Com isso em mente, vamos construir as fitas explicitando
e
amostra a amostra.]
Passo 3
Construção da fita de
. Vou listar as amostras relevantes (toda amostra fora do intervalo mostrado é zero, pois são sinais de suporte finito).
- A partir de
temos:
Visualmente, a “fita” de
tem picos em
com alturas
.
Passo 4
Construção da fita de
. A expressão é
.
- Avaliando os pontos relevantes:
Então a fita de
tem picos em
e
com alturas
e
.
Passo 5
Alinhamento das fitas e soma amostra a amostra (método das fitas). Vou considerar os índices do menor ao maior ponto não nulo observado:
. Para cada
coloco
,
e a soma
.
- Para
: - Para
: - Para
: Aqui há sobreposição: ambas as fitas têm um pico em , então as amplitudes somam. - Para
: - Para
:
Tabela resumida (mostro como lista de pares
):
Passo 6
Identificação do suporte resultante.
- O suporte de
é . - O suporte de
é . - O suporte de
é a união: .
Note quenão aparece porque .
Passo 7
Expressão analítica final de
como soma de deltas com coeficientes (somando termos correspondentes):
- Somando termo a termo:
- Agrupando termos iguais (
aparece duas vezes):
Coloquei os termos ordenados conforme os índices, mas qualquer ordem equivalente está certa.
Passo 8
Representação gráfica (diagrama de hastes) de
.
- Os pontos não nulos são:
- Para desenhar um stem plot (diagrama de hastes) mentalmente ou no papel, marque no eixo
os inteiros e desenhe hastes verticais com alturas iguais aos valores acima: - em
uma haste de altura , - em
nenhuma haste ( ), - em
uma haste de altura , - em
uma haste de altura , - em
uma haste de altura .
- em
Se quiser desenhar em papel: para cada
trace uma linha reta vertical do eixo até o valor
e marque um ponto no topo.
Passo 9
Comentário final sobre suporte e efeito da superposição (explicação curta e didática)
- O suporte de
é : todas as posições onde pelo menos uma das fitas tinha um pico. - Efeito da superposição: em
ambas as funções tinham um delta unitário ( e ), então a soma amostra-a-amostra resultou em — ou seja, as amplitudes se somaram. Nas demais posições não houve coincidência de picos, então os valores de naquele ficaram iguais aos da fita que tinha pico naquele ponto (por exemplo veio só de , vieram só de ).
Força aí — a ideia essencial do método das fitas é essa: alinhar, inspecionar cada posição, somar as amplitudes coincidentes e anotar a união dos índices não nulos.
Resposta
Fitas alinhadas e soma amostra a amostra mostradas nos passos; suporte de
:
.
Diagrama de hastes (valores):
O suporte é a união dos suportes de e
; a sobreposição em
fez as amplitudes somarem, resultando em
.
O suporte é a união dos suportes de