Em um protótipo de filtragem digital para cancelamento de ecos, sinais discretos curtos (com suporte finito) são combinados diretamente por soma antes de passarem por outros blocos do sistema. Considere os sinais a seguir, definidos por combinações de deltas unitárias:
x[n]=\delta[n-1]+2 \delta[n-2]+\delta[n-3] \text { e } h[n]=\delta[n+1]+\delta[n-1]
.Para a etapa inicial de integração entre módulos, o engenheiro propõe analisar a soma dos sinais (não a convolução), definida por:
y[n]=x[n]+h[n]
  1. Resolva y[n] utilizando o método das fitas: construa as “fitas” de x[n] e h[n] alinhadas sobre o eixo n. some graficamente as amplitudes amostra a amostra e identifique o suporte resultante.
  2. Determine analiticamente y[n], escrevendo-o na forma de soma de deltas com os coeficientes corretos.
  3. Represente graficamente y[n] em diagrama de hastes, mostrando claramente os valores de n e as amplitudes correspondentes.
  4. Comente brevemente o suporte de y[n] e explique como a superposição de amostras comuns a x[n] e h[n] afetou os valores finais.
Instruções de apresentação:
  • O uso do método das fitas é obrigatório para a construção passo a passo de y[n].
  • Apresente a solução de forma organizada: primeiro as fitas alinhadas, depois a expressão final e, por fim, o gráfico resultante.
  • Identifique claramente as posições de n e as amplitudes somadas.

Passo 1

O enunciado dá os sinais discretos curtos e pede quatro coisas claras. Vou listar tudo para não nos perder:
  • Dados (dados diretamente pelo enunciado): x[n]=\delta[n-1]+2\delta[n-2]+\delta[n-3]
h[n]=\delta[n+1]+\delta[n-1]
  • Perguntas (o que precisamos responder):
    1. Construir as “fitas” de x[n] e h[n] alinhadas sobre o eixo n; somar amostra a amostra graficamente e identificar o suporte resultante.
    2. Determinar analiticamente y[n]=x[n]+h[n] escrevendo como soma de deltas com coeficientes.
    3. Representar graficamente y[n] em diagrama de hastes (stem plot), mostrando os valores de n e as amplitudes.
    4. Comentar brevemente o suporte de y[n] e explicar como a superposição das amostras comuns afetou os valores finais.
Observação: nas próximas etapas vou usar o método das fitas passo a passo, construir tabelas com as amostras e mostrar onde ocorre sobreposição.

Passo 2

Pequena revisão do que é uma delta unitária discreta — isso ajuda a entender as fitas.
  • Definição: a função delta discreta \delta[n-k]\) vale \(1\) quando \(n=k\) e vale \(0\) para todo \(n\neq k\). \[\delta[n-k]=\begin{cases}1,& n=k,\\[4pt]0,& n\neq k.\end{cases}
  • Consequência prática: escrever x[n]=\delta[n-1]+2\delta[n-2]+\delta[n-3]\] significa que \(x[n] tem valores não nulos somente em n=1,2,3 com amplitudes 1,2,1 respectivamente.
Com isso em mente, vamos construir as fitas explicitando x[n] e h[n] amostra a amostra.]

Passo 3

Construção da fita de x[n]. Vou listar as amostras relevantes (toda amostra fora do intervalo mostrado é zero, pois são sinais de suporte finito).
  • A partir de x[n]=\delta[n-1]+2\delta[n-2]+\delta[n-3] temos: x[-1]=0,\quad x[0]=0,
x[1]=1,\quad x[2]=2,\quad x[3]=1,
x[n]=0\\ \text{para outros }n.
Visualmente, a “fita” de x[n] tem picos em n=1,2,3 com alturas 1,2,1.

Passo 4

Construção da fita de h[n]. A expressão é h[n]=\delta[n+1]+\delta[n-1].
  • Avaliando os pontos relevantes: h[-1]=1\quad(\text{vém de }\delta[n+1]),é
h[0]=0,
h[1]=1\quad(\text{vém de }\delta[n-1]),é
h[n]=0\\ \text{para outros }n.
Então a fita de h[n] tem picos em n=-1 e n=1 com alturas 1 e 1.

Passo 5

Alinhamento das fitas e soma amostra a amostra (método das fitas). Vou considerar os índices do menor ao maior ponto não nulo observado: n=-1,0,1,2,3. Para cada n coloco x[n], h[n] e a soma y[n]=x[n]+h[n].
  • Para n=-1: x[-1]=0,\qquad h[-1]=1 \;\Rightarrow\; y[-1]=0+1=1.
  • Para n=0: x[0]=0,\qquad h[0]=0 \;\Rightarrow\; y[0]=0+0=0.
  • Para n=1: x[1]=1,\qquad h[1]=1 \;\Rightarrow\; y[1]=1+1=2.Aqui há sobreposição: ambas as fitas têm um pico em n=1, então as amplitudes somam.
  • Para n=2: x[2]=2,\qquad h[2]=0 \;\Rightarrow\; y[2]=2+0=2.
  • Para n=3: x[3]=1,\qquad h[3]=0 \;\Rightarrow\; y[3]=1+0=1.
Tabela resumida (mostro como lista de pares (n,\;x[n],\;h[n],\;y[n])):
\begin{array}{c|c|c|c} n & x[n] & h[n] & y[n]=x[n]+h[n]\\hline -1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 2 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{array}

Passo 6

Identificação do suporte resultante.
  • O suporte de x[n] é \{1,2,3\}.
  • O suporte de h[n] é \{-1,1\}.
  • O suporte de y[n]=x[n]+h[n] é a união: \{-1,1,2,3\}.
    Note que n=0 não aparece porque y[0]=0.

Passo 7

Expressão analítica final de y[n] como soma de deltas com coeficientes (somando termos correspondentes):
  • Somando termo a termo: x[n]+h[n]=\big(\delta[n-1]+2\delta[n-2]+\delta[n-3]\big)+\big(\delta[n+1]+\delta[n-1]\big).
  • Agrupando termos iguais ( \delta[n-1] aparece duas vezes): y[n]=\delta[n+1]+2\delta[n-1]+2\delta[n-2]+\delta[n-3].
Coloquei os termos ordenados conforme os índices, mas qualquer ordem equivalente está certa.

Passo 8

Representação gráfica (diagrama de hastes) de y[n].
  • Os pontos não nulos são: y[-1]=1,\quad y[1]=2,\quad y[2]=2,\quad y[3]=1.
  • Para desenhar um stem plot (diagrama de hastes) mentalmente ou no papel, marque no eixo n os inteiros -1,0,1,2,3 e desenhe hastes verticais com alturas iguais aos valores acima:
    • em n=-1 uma haste de altura 1,
    • em n=0 nenhuma haste ( 0),
    • em n=1 uma haste de altura 2,
    • em n=2 uma haste de altura 2,
    • em n=3 uma haste de altura 1.
Se quiser desenhar em papel: para cada n trace uma linha reta vertical do eixo até o valor y[n] e marque um ponto no topo.

Passo 9

Comentário final sobre suporte e efeito da superposição (explicação curta e didática)
  • O suporte de y[n] é \{-1,1,2,3\}: todas as posições onde pelo menos uma das fitas tinha um pico.
  • Efeito da superposição: em n=1 ambas as funções tinham um delta unitário ( x[1]=1 e h[1]=1), então a soma amostra-a-amostra resultou em y[1]=2 — ou seja, as amplitudes se somaram. Nas demais posições não houve coincidência de picos, então os valores de y[n] naquele n ficaram iguais aos da fita que tinha pico naquele ponto (por exemplo n=-1 veio só de h, n=2,3 vieram só de x).
Força aí — a ideia essencial do método das fitas é essa: alinhar, inspecionar cada posição, somar as amplitudes coincidentes e anotar a união dos índices não nulos.

Resposta

Fitas alinhadas e soma amostra a amostra mostradas nos passos; suporte de y[n]: \{-1,1,2,3\}.
y[n]=\delta[n+1]+2\delta[n-1]+2\delta[n-2]+\delta[n-3].
Diagrama de hastes (valores): y[-1]=1,\; y[0]=0,\; y[1]=2,\; y[2]=2,\; y[3]=1.
O suporte é a união dos suportes de x e h; a sobreposição em n=1 fez as amplitudes somarem, resultando em y[1]=2.

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