Ex 15. Uma vacina contra um determinado vírus tem probabilidade igual a 0,001 de não imunizar o indivíduo vacinado. Se forem vacinados 10 indivíduos, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) Dois indivíduos
b) No mínimo um indivíduo
c) No máximo 3 indivíduos

Passo 1

O enunciado diz que cada indivíduo vacinado tem probabilidade p=0{,}001 de não ficar imune e que são vacinados n=10 indivíduos. Definimos a variável aleatória X = número de indivíduos que não ficam imunes. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=10,\;p=0{,}001),
e a fórmula geral é
P(X=k)=\binom{10}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{10-k}.

Passo 2

Para a letra (a) queremos exatamente dois indivíduos sem imunidade, isto é P(X=2). Aplicando a fórmula:
P(X=2) =\binom{10}{2}\,(0{,}001)^{2}\,(1-0{,}001)^{8} =\binom{10}{2}\,(0{,}001)^{2}\,(0{,}999)^{8}.
Numericamente,
\binom{10}{2}=45,\quad (0{,}001)^{2}=10^{-6},\quad (0{,}999)^{8}\approx0{,}9920,
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P(X=2)\approx45\times10^{-6}\times0{,}9920\approx4{,}46\times10^{-5}.

Passo 3

Para a letra (b) queremos a probabilidade de no mínimo um indivíduo sem imunidade, ou seja P(X\ge1). É mais fácil usar o complementar:
P(X\ge1)=1-P(X=0).
E
P(X=0)=\binom{10}{0}\,(0{,}001)^{0}\,(0{,}999)^{10}=(0{,}999)^{10}.
Portanto
P(X\ge1)=1-(0{,}999)^{10}\approx1-0{,}9900\approx0{,}0100.

Passo 4

Para a letra (c) queremos a probabilidade de no máximo 3 indivíduos sem imunidade, ou seja P(X\le3). Isso é a soma dos casos k=0,1,2,3:
P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}\,(0{,}001)^{k}\,(0{,}999)^{10-k}.
Em forma expandida:
P(X\le3) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=\,(0{,}999)^{10} +10\,(0{,}001)\,(0{,}999)^{9} +45\,(0{,}001)^{2}\,(0{,}999)^{8} +120\,(0{,}001)^{3}\,(0{,}999)^{7}.
Numericamente todas essas probabilidades são quase todas concentradas em k=0 e k=1, de modo que
P(X\le3)\approx0{,}9999999\approx1{,}0000.

Resposta

(a) \displaystyle P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}001)^{2}(0{,}999)^{8}\approx4{,}46\times10^{-5}.
(b) \displaystyle P(X\ge1)=1-(0{,}999)^{10}\approx0{,}0100.
(c) \displaystyle P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}(0{,}001)^{k}(0{,}999)^{10-k}\approx1{,}0000.

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