15 A variação de energia cinética do elétron ao percorrer a distância d_{1}+d_{2}+d_{3} até atingir a tela luminescente não dependerá da intensidade do campo magnético.

Passo 1

O enunciado afirma que: “A variação de energia cinética do elétron ao percorrer a distância d_{1}+d_{2}+d_{3} até atingir a tela luminescente não dependerá da intensidade do campo magnético.”\n
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou implícitas):\n
  • Trata-se de um elétron (carga q = -e) que se desloca até uma tela luminescente, percorrendo uma trajetória cujo comprimento total é d_{1}+d_{2}+d_{3}.\n
  • O enunciado menciona a presença de um campo magnético e pergunta sobre a dependência da variação da energia cinética em relação à intensidade desse campo magnético.\n
  • O enunciado não fornece dados sobre campos elétricos, variação temporal do campo magnético, nem sobre forças dissipativas (atrito, radiação, etc.).\n
    (O que está sendo perguntado claramente: se a mudança da energia cinética do elétron, durante esse deslocamento até a tela, depende ou não da intensidade do campo magnético.)

Passo 2

Conceito-chave: relação entre trabalho e variação da energia cinética.\n
A variação da energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho realizado pelas forças que atuam sobre ela. Escrevemos isso com a expressão
\Delta K = \int_{\text{trajetória}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s},ó
onde \mathbf{F} é a força total sobre a partícula e d\mathbf{s} é um elemento de deslocamento. Explicando: \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} mede quanto da força contribui na direção do deslocamento; se a força for perpendicular ao deslocamento, o trabalho é nulo ali.

Passo 3

Força sobre carga em campos eletromagnéticos (fórmula essencial).\n
A força total sobre uma carga q movendo-se com velocidade \mathbf{v} em campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} é a força de Lorentz:
\mathbf{F} = q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor), \mathbf{B} é o campo magnético (vetor), e \mathbf{v}\times\mathbf{B} é o produto vetorial entre velocidade e campo magnético. O termo q\mathbf{E} pode ter componente na direção do deslocamento e, portanto, pode fazer trabalho; o termo q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) tem orientação perpendicular a \mathbf{v} (por propriedades do produto vetorial), então precisa ser examinado com cuidado.

Passo 4

Mostro que a força magnética pura não realiza trabalho.\n
Calculo a taxa de variação da energia cinética usando \frac{dK}{dt}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}. Substituindo a força de Lorentz:
\frac{dK}{dt} = q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{v}.
Distribuindo o produto escalar:
\frac{dK}{dt} = q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} + q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}.
Agora uso uma propriedade do produto vetorial: para quaisquer vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} vale (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=0, porque \mathbf{a}\times\mathbf{b} é sempre perpendicular a \mathbf{a}. Aplicando isso com \mathbf{a}=\mathbf{v} e \mathbf{b}=\mathbf{B} obtemos
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0.
Logo sobra apenas
\frac{dK}{dt} = q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}.
Integro ao longo do tempo para a variação total de energia cinética: a contribuição da força magnética é nula; apenas o trabalho das componentes elétricas (ou de outras forças não magnéticas) altera K.

Passo 5

Conclusão principal (sem jargões): por que a variação de energia cinética não depende do campo magnético.\n
Como a parte magnética da força é sempre perpendicular instantaneamente à velocidade, ela não realiza trabalho sobre a carga. Portanto, se o único campo presente que pode variar for o campo magnético estático, a variação da energia cinética de um elétron ao percorrer qualquer caminho (por exemplo d_{1}+d_{2}+d_{3}) não depende da intensidade do campo magnético: o campo magnético só muda a direção da velocidade (curvando a trajetória), não sua magnitude. Em outras palavras, o módulo da velocidade (e portanto a energia cinética) permanece inalterado pela ação de um campo magnético estático.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia (modo “cola para a prova”).\n
  • Exemplo 1 (mostre com imagem mental): elétron entrando em um campo magnético uniforme perpendicular à sua velocidade. Ele faz movimento circular com velocidade de módulo constante. Logo K constante.\n
  • Exemplo 2: se houver um campo elétrico paralelo à velocidade (por exemplo uma diferença de potencial antes da tela), esse campo realizará trabalho e mudará a energia cinética: aí \Delta K depende do campo elétrico, e não do magnético.\n
    Esses dois exemplos mostram a diferença prática: campo magnético muda trajetória; campo elétrico muda energia.

Passo 7

Observações importantes (armadilhas que a prova pode cobrar).\n
  • Se o campo magnético variar no tempo, ele pode induzir um campo elétrico (Lei de Faraday). Esse campo elétrico induzido pode fazer trabalho e alterar a energia cinética. Então, em situações com \partial\mathbf{B}/\partial t\neq 0, a variação de \mathbf{B} pode afetar K indiretamente.\n
  • Em teoria avançada: uma partícula acelerada irradia energia (radiação bremsstrahlung), então, se o campo magnético produzir aceleração centrípeta muito grande, pode haver perda por radiação que muda a energia cinética. Em física básica de graduação estas perdas costumam ser desprezadas, então a conclusão de independência do campo magnético permanece válida.\n
  • Resumindo: para campos magnéticos estáticos e desprezando radiação, \Delta K não depende da intensidade de \mathbf{B}.

Resposta

Verdadeiro.

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