15 A variação de energia cinética do elétron ao percorrer a distância
até atingir a tela luminescente não dependerá da intensidade do campo magnético.
Passo 1
O enunciado afirma que: “A variação de energia cinética do elétron ao percorrer a distância
até atingir a tela luminescente não dependerá da intensidade do campo magnético.”\n
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou implícitas):\n
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou implícitas):\n
- Trata-se de um elétron (carga
) que se desloca até uma tela luminescente, percorrendo uma trajetória cujo comprimento total é .\n - O enunciado menciona a presença de um campo magnético e pergunta sobre a dependência da variação da energia cinética em relação à intensidade desse campo magnético.\n
- O enunciado não fornece dados sobre campos elétricos, variação temporal do campo magnético, nem sobre forças dissipativas (atrito, radiação, etc.).\n
(O que está sendo perguntado claramente: se a mudança da energia cinética do elétron, durante esse deslocamento até a tela, depende ou não da intensidade do campo magnético.)
Passo 2
Conceito-chave: relação entre trabalho e variação da energia cinética.\n
A variação da energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho realizado pelas forças que atuam sobre ela. Escrevemos isso com a expressão
A variação da energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho realizado pelas forças que atuam sobre ela. Escrevemos isso com a expressão
onde
é a força total sobre a partícula e
é um elemento de deslocamento. Explicando:
mede quanto da força contribui na direção do deslocamento; se a força for perpendicular ao deslocamento, o trabalho é nulo ali.
Passo 3
Força sobre carga em campos eletromagnéticos (fórmula essencial).\n
A força total sobre uma carga movendo-se com velocidade
em campos elétrico
e magnético
é a força de Lorentz:
A força total sobre uma carga
Aqui
é o campo elétrico (vetor),
é o campo magnético (vetor), e
é o produto vetorial entre velocidade e campo magnético. O termo
pode ter componente na direção do deslocamento e, portanto, pode fazer trabalho; o termo
tem orientação perpendicular a
(por propriedades do produto vetorial), então precisa ser examinado com cuidado.
Passo 4
Mostro que a força magnética pura não realiza trabalho.\n
Calculo a taxa de variação da energia cinética usando . Substituindo a força de Lorentz:
Calculo a taxa de variação da energia cinética usando
Distribuindo o produto escalar:
Agora uso uma propriedade do produto vetorial: para quaisquer vetores
e
vale
, porque
é sempre perpendicular a
. Aplicando isso com
e
obtemos
Logo sobra apenas
Integro ao longo do tempo para a variação total de energia cinética: a contribuição da força magnética é nula; apenas o trabalho das componentes elétricas (ou de outras forças não magnéticas) altera
.
Passo 5
Conclusão principal (sem jargões): por que a variação de energia cinética não depende do campo magnético.\n
Como a parte magnética da força é sempre perpendicular instantaneamente à velocidade, ela não realiza trabalho sobre a carga. Portanto, se o único campo presente que pode variar for o campo magnético estático, a variação da energia cinética de um elétron ao percorrer qualquer caminho (por exemplo ) não depende da intensidade do campo magnético: o campo magnético só muda a direção da velocidade (curvando a trajetória), não sua magnitude. Em outras palavras, o módulo da velocidade (e portanto a energia cinética) permanece inalterado pela ação de um campo magnético estático.
Como a parte magnética da força é sempre perpendicular instantaneamente à velocidade, ela não realiza trabalho sobre a carga. Portanto, se o único campo presente que pode variar for o campo magnético estático, a variação da energia cinética de um elétron ao percorrer qualquer caminho (por exemplo
Passo 6
Exemplos concretos para fixar a ideia (modo “cola para a prova”).\n
- Exemplo 1 (mostre com imagem mental): elétron entrando em um campo magnético uniforme perpendicular à sua velocidade. Ele faz movimento circular com velocidade de módulo constante. Logo
constante.\n - Exemplo 2: se houver um campo elétrico paralelo à velocidade (por exemplo uma diferença de potencial antes da tela), esse campo realizará trabalho e mudará a energia cinética: aí
depende do campo elétrico, e não do magnético.\n
Esses dois exemplos mostram a diferença prática: campo magnético muda trajetória; campo elétrico muda energia.
Passo 7
Observações importantes (armadilhas que a prova pode cobrar).\n
- Se o campo magnético variar no tempo, ele pode induzir um campo elétrico (Lei de Faraday). Esse campo elétrico induzido pode fazer trabalho e alterar a energia cinética. Então, em situações com
, a variação de pode afetar indiretamente.\n - Em teoria avançada: uma partícula acelerada irradia energia (radiação bremsstrahlung), então, se o campo magnético produzir aceleração centrípeta muito grande, pode haver perda por radiação que muda a energia cinética. Em física básica de graduação estas perdas costumam ser desprezadas, então a conclusão de independência do campo magnético permanece válida.\n
- Resumindo: para campos magnéticos estáticos e desprezando radiação,
não depende da intensidade de .
Resposta
Verdadeiro.