Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 y} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{2y} x\,y\;dx\;dy.
Informações explícitas dadas:
  1. O integrando é x\,y.
  2. A integral externa (mais à direita) é em relação a y com limites y=0 a y=2.
  3. A integral interna (mais à esquerda) é em relação a x com limites x=x^{2} (limite inferior) e x=2y (limite superior).
  4. Não há figura nem outra condição adicional no enunciado.

Passo 2

Verificação da consistência da escrita da integral (regra essencial para integrais iteradas).
Quando escrevemos uma integral iterada da forma
\int_{y=a}^{y=b}\left(\int_{x=\alpha(y)}^{x=\beta(y)} f(x,y)\,dx\right)dy,
os limites da integral interna (aquelas funções \alpha e \beta) só podem depender de y (ou ser constantes). Isso porque, no cálculo \int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,y)\,dx, estamos integrando em x para um y fixo — os limites não podem envolver a própria variável x da integração interna. Em outras palavras: o limite inferior e o limite superior de uma integral em x devem ser expressos em termos de y (ou constantes), não em termos de x.
No enunciado dado os limites da integral interna são x^{2} e 2y. O limite 2y pode ser aceitável (depende de y), mas o limite x^{2} depende de x. Isso é inválido: não faz sentido matemático escrever a integral interna com um limite que contenha a própria variável de integração interna. Portanto a expressão, tal como está escrita, é malformada.

Passo 3

Explicando didaticamente por que isso é um problema, com um exemplo simples.
Considere que tentássemos avaliar, para um y fixo, a integral interna \int_{x^{2}}^{2y} x\,y\,dx. Para calcular integrales em x precisamos conhecer limites numéricos (ou funções de y). Mas o limite inferior x^{2} não é um número nem uma função de y — ele depende de x que é justamente a variável de integração. Isso gera uma contradição lógica: você não pode dizer “integro x de x^{2} até …”, porque o valor do limite inferior mudaria enquanto x varia dentro da própria integral. Por isso a expressão não é bem definida.

Passo 4

O que poderia ter acontecido e como corrigir (formas plausíveis de reescrever o problema).
Existem dois tipos de erro comuns que levam a essa escrita:
  1. erro na ordem dos diferenciais (trocar dx\,dy por dy\,dx);
  2. erro de digitação nos limites (por exemplo queria-se y=x^{2} como limite, mas ficou escrito x^{2} no lugar errado).
Duas reescrituras plausíveis e bem-formadas seriam, por exemplo:
A) \displaystyle \int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{2} x\,y\;dy\;dx — aqui a integral interna é em y com limites y=x^{2} a y=2.
B) \displaystyle \int_{0}^{2}\int_{\sqrt{y}}^{2y} x\,y\;dx\;dy — aqui a integral interna em x tem limites que dependem de y apenas (por exemplo x=\sqrt{y} até x=2y).
Eu não posso adivinhar com certeza qual correção o professor quis, porque há mais de uma maneira razoável de consertar a expressão. Para cada correção a integral e o valor final serão diferentes.

Passo 5

O que eu preciso (e o que faria se eu pudesse escolher uma interpretação).
Para calcular de fato a integral iterada tenho que ter uma formulação bem-definida: os limites internos devem ser funções do outro parâmetro (ou constantes). Sem essa correção não existe um valor bem-definido a ser calculado. Se você quiser, eu posso:
  • calcular a integral para alguma das reescrituras plausíveis (por exemplo a alternativa A ou B acima), mostrando passo a passo como proceder, ou
  • se você confirmar a intenção correta do enunciado (por exemplo trocar a ordem dx\,dy por dy\,dx, ou dizer quais são os limites certos), eu calculo exatamente o caso pedido.
Eu já sei resolver integrais iteradas desse tipo e vou explicar passo a passo quando você confirmar qual forma correta é a desejada — prometo fazer sem pular etapas e bem didático, do jeitinho que você pediu.

Resposta

Não é possível calcular a integral na forma em que foi escrita, pois o limite interno da integral em x é x^{2}, que depende da própria variável de integração x; isto torna a expressão malformada.

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