Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral iterada
Informações explícitas dadas:
- O integrando é
. - A integral externa (mais à direita) é em relação a
com limites a . - A integral interna (mais à esquerda) é em relação a
com limites (limite inferior) e (limite superior). - Não há figura nem outra condição adicional no enunciado.
Passo 2
Verificação da consistência da escrita da integral (regra essencial para integrais iteradas).
Quando escrevemos uma integral iterada da forma
os limites da integral interna (aquelas funções
e
) só podem depender de
(ou ser constantes). Isso porque, no cálculo
, estamos integrando em
para um
fixo — os limites não podem envolver a própria variável
da integração interna. Em outras palavras: o limite inferior e o limite superior de uma integral em
devem ser expressos em termos de
(ou constantes), não em termos de
.
No enunciado dado os limites da integral interna são
e
. O limite
pode ser aceitável (depende de
), mas o limite
depende de
. Isso é inválido: não faz sentido matemático escrever a integral interna com um limite que contenha a própria variável de integração interna. Portanto a expressão, tal como está escrita, é malformada.
Passo 3
Explicando didaticamente por que isso é um problema, com um exemplo simples.
Considere que tentássemos avaliar, para um
fixo, a integral interna
. Para calcular integrales em
precisamos conhecer limites numéricos (ou funções de
). Mas o limite inferior
não é um número nem uma função de
— ele depende de
que é justamente a variável de integração. Isso gera uma contradição lógica: você não pode dizer “integro
de
até …”, porque o valor do limite inferior mudaria enquanto
varia dentro da própria integral. Por isso a expressão não é bem definida.
Passo 4
O que poderia ter acontecido e como corrigir (formas plausíveis de reescrever o problema).
Existem dois tipos de erro comuns que levam a essa escrita:
- erro na ordem dos diferenciais (trocar
por ); - erro de digitação nos limites (por exemplo queria-se
como limite, mas ficou escrito no lugar errado).
Duas reescrituras plausíveis e bem-formadas seriam, por exemplo:
A) — aqui a integral interna é em
com limites
a
.
B) — aqui a integral interna em
tem limites que dependem de
apenas (por exemplo
até
).
A)
B)
Eu não posso adivinhar com certeza qual correção o professor quis, porque há mais de uma maneira razoável de consertar a expressão. Para cada correção a integral e o valor final serão diferentes.
Passo 5
O que eu preciso (e o que faria se eu pudesse escolher uma interpretação).
Para calcular de fato a integral iterada tenho que ter uma formulação bem-definida: os limites internos devem ser funções do outro parâmetro (ou constantes). Sem essa correção não existe um valor bem-definido a ser calculado. Se você quiser, eu posso:
- calcular a integral para alguma das reescrituras plausíveis (por exemplo a alternativa A ou B acima), mostrando passo a passo como proceder, ou
- se você confirmar a intenção correta do enunciado (por exemplo trocar a ordem
por , ou dizer quais são os limites certos), eu calculo exatamente o caso pedido.
Eu já sei resolver integrais iteradas desse tipo e vou explicar passo a passo quando você confirmar qual forma correta é a desejada — prometo fazer sem pular etapas e bem didático, do jeitinho que você pediu.
Resposta
Não é possível calcular a integral na forma em que foi escrita, pois o limite interno da integral em
é
, que depende da própria variável de integração
; isto torna a expressão malformada.