6.151. O tirante em U é feito de um material elástico perfeitamente plástico para o qual
. Determinar o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal do tirante em U, sabendo que o material é perfeitamente plástico com tensão de escoamento
.
Informações dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
- Espessura das chapas:
. - Largura da aba (topo):
(largura total da parede superior). - Altura das paredes verticais (webs):
. - A seção é formada por três retângulos: uma aba superior de
e duas paredes verticais cada uma de . - O momento
atua em torno do eixo neutro horizontal que passa pelo centro geométrico da seção (bending forte, perpendicular às paredes verticais).
O que vamos encontrar:
- Momento elástico máximo
, onde é o módulo de resistência elástico (seção elástica) relativo à fibra mais afastada. - Momento plástico
, onde é o módulo plástico da seção.
Passo 2
Definir e calcular áreas e posições dos centroides das três partes (usar isso para achar o centro da área e o momento de inércia).
Áreas:
Área total:
Posições dos centroides das partes medidas a partir da face superior da seção (origem
no topo):
- Centróide da aba (espessura
):
- Centróide de cada web (a web começa imediatamente abaixo da aba):
Cálculo do centroide global
:
Interpretação: o eixo neutro geométrico está a
abaixo do topo da aba.
Passo 3
Calcular o momento de inércia total em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro geométrico (usar teorema dos eixos paralelos).
Fórmulas úteis e explicações:
- Momento de inércia de um retângulo em torno do seu centro, eixo horizontal:
, onde é a base (largura horizontal) e é a altura na direção vertical. - Teorema dos eixos paralelos:
, onde é a distância entre o centrodóide da peça e o eixo desejado.
Para a aba (retângulo
):
Distância do centro da aba ao centro global:
Paralelo:
Calculemos
. Assim
logo
Para cada web (retângulo
):
Distância do centro da web ao centro global:
Portanto cada web:
Duas webs:
Momento de inércia total:
Passo 4
Calcular o módulo de resistência elástico
e o momento elástico máximo
.
- A distância à fibra mais afastada da linha neutra (do centro geométrico) é a maior entre topo e base. Distância ao topo:
Distância à fibra mais distante na base (altura total da seção =
):
A maior é
.
- Módulo de resistência elástico:
- Momento elástico máximo (usando
):
Em unidades práticas:
Passo 5
Determinar a posição do eixo neutro plástico (PNA) e calcular o módulo plástico
e o momento plástico
.
Conceito e procedimento (explicação didática):
- Em plástico perfeito, sob flexão a seção se reorganiza em duas zonas totalmente plastificadas: uma em compressão e outra em tração. O eixo neutro plástico (PNA) fica onde a área em compressão é igual à área em tração (porque as tensões têm mesmo módulo
e as forças resultantes devem se equilibrar). - Assim, para achar o PNA basta encontrar a cota
medida do topo tal que a área acima de seja metade da área total: partes superiores das webs até deve ser .
Área total
, metade
.
- A aba inteira fornece
. Faltam para atingir . As duas webs juntas têm largura total , portanto a profundidade necessária dentro das webs é:
Logo o PNA está
abaixo do fundo da aba, isto é
Calcular o módulo plástico
:
- Primeiro momento da área de compressão em relação ao PNA (somando todas as partes acima do PNA). Em seguida o módulo plástico total
é a soma dos momentos das áreas de compressão e tração; como as áreas de compressão e de tração são iguais, basta calcular o momento da metade (compressão) e multiplicar por 2:
Componentes acima do PNA:
- Aba inteira:
, centro a do topo. Distância do PNA ( ) ao centro da aba:
Contribuição:
.
- Partes superiores das duas webs até o PNA: cada web tem altura acima do PNA igual a
, área por web , então as duas juntas . O centroid dessas porções está a do topo. Distância até o PNA:
Contribuição conjunta:
.
Somando as contribuições da metade superior:
Portanto
Momento plástico máximo:
Observação intuitiva: o fator de forma plástica
, ou seja, a seção pode resistir cerca de 22% a mais em momento plástico do que no limite elástico — isso é típico de seções de parede delgada com geometria não muito desfavorável.