6.151. O tirante em U é feito de um material elástico perfeitamente plástico para o qual \sigma_{E}=250 \mathrm{MPa}. Determinar o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal do tirante em U, sabendo que o material é perfeitamente plástico com tensão de escoamento \sigma_{E}=250\\ \mathrm{MPa}.
Informações dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
  • Espessura das chapas: t=10\\ \mathrm{mm}.
  • Largura da aba (topo): b=120\\ \mathrm{mm} (largura total da parede superior).
  • Altura das paredes verticais (webs): h=100\\ \mathrm{mm}.
  • A seção é formada por três retângulos: uma aba superior de 120\times10\\ \mathrm{mm}^2 e duas paredes verticais cada uma de 10\times100\\ \mathrm{mm}^2.
  • O momento M atua em torno do eixo neutro horizontal que passa pelo centro geométrico da seção (bending forte, perpendicular às paredes verticais).
O que vamos encontrar:
  • Momento elástico máximo \,M_e=\sigma_E\cdot S, onde S é o módulo de resistência elástico (seção elástica) relativo à fibra mais afastada.
  • Momento plástico \,M_p=\sigma_E\cdot Z_p, onde Z_p é o módulo plástico da seção.

Passo 2

Definir e calcular áreas e posições dos centroides das três partes (usar isso para achar o centro da área e o momento de inércia).
Áreas:
A_{\text{aba}}=b\cdot t=120\cdot10=1200\\ \mathrm{mm}^2,
A_{\text{web}}=t\cdot h=10\cdot100=1000\\ \mathrm{mm}^2\quad(\text{cada web}).
Área total:
A_{\text{tot}}=A_{\text{aba}}+2A_{\text{web}}=1200+2\cdot1000=3200\\ \mathrm{mm}^2.
Posições dos centroides das partes medidas a partir da face superior da seção (origem y=0 no topo):
  • Centróide da aba (espessura 10\\ \mathrm{mm}):
y_{\text{aba}}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{mm}.
  • Centróide de cada web (a web começa imediatamente abaixo da aba):
y_{\text{web}}=10+\frac{100}{2}=10+50=60\\ \mathrm{mm}.
Cálculo do centroide global \bar{y}:
\bar{y}=\frac{A_{\text{aba}}\,y_{\text{aba}}+2A_{\text{web}}\,y_{\text{web}}}{A_{\text{tot}}} =\frac{1200\cdot5+2\cdot1000\cdot60}{3200} =\frac{126000}{3200}=\frac{315}{8}=39,375\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o eixo neutro geométrico está a 39,375\\ \mathrm{mm} abaixo do topo da aba.

Passo 3

Calcular o momento de inércia total em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro geométrico (usar teorema dos eixos paralelos).
Fórmulas úteis e explicações:
  • Momento de inércia de um retângulo em torno do seu centro, eixo horizontal: \,I_c=\dfrac{b\,h^3}{12}, onde b é a base (largura horizontal) e h é a altura na direção vertical.
  • Teorema dos eixos paralelos: I=I_c + A d^2, onde d é a distância entre o centrodóide da peça e o eixo desejado.
Para a aba (retângulo 120\times10):
I_{\text{aba,centro}}=\frac{b\,t^3}{12}=\frac{120\cdot10^3}{12}=10000\\ \mathrm{mm}^4.
Distância do centro da aba ao centro global:
d_{\text{aba}}=\bar{y}-y_{\text{aba}}=39,375-5=34,375\\ \mathrm{mm}.
Paralelo:
I_{\text{aba}}=I_{\text{aba,centro}}+A_{\text{aba}}\,d_{\text{aba}}^2 =10000+1200\cdot(34,375)^2.
Calculemos (34,375)^2=(275/8)^2=\dfrac{75625}{64}=1181,640625. Assim
A_{\text{aba}}\,d_{\text{aba}}^2=1200\cdot1181,640625=1\,417\,968,75\\ \mathrm{mm}^4,
logo
I_{\text{aba}}=10\,000+1\,417\,968,75=1\,427\,968,75\\ \mathrm{mm}^4.
Para cada web (retângulo 10\times100):
I_{\text{web,centro}}=\frac{t\,h^3}{12}=\frac{10\cdot100^3}{12}=\frac{10\cdot1\,000\,000}{12}=833\,333{,}333\dots\\ \mathrm{mm}^4.
Distância do centro da web ao centro global:
d_{\text{web}}=y_{\text{web}}-\bar{y}=60-39,375=20,625\\ \mathrm{mm}.
A_{\text{web}}\,d_{\text{web}}^2=1000\cdot(20,625)^2=1000\cdot425,390625=425\,390,625\\ \mathrm{mm}^4.
Portanto cada web:
I_{\text{web}}=833\,333{,}333+\;425\,390{,}625=1\,258\,723{,}958\\ \mathrm{mm}^4.
Duas webs:
I_{\text{webs}}=2\cdot1\,258\,723{,}958=2\,517\,447{,}917\\ \mathrm{mm}^4.
Momento de inércia total:
I_{\text{total}}=I_{\text{aba}}+I_{\text{webs}}=1\,427\,968{,}75+2\,517\,447{,}917 =3\,945\,416{,}667\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 4

Calcular o módulo de resistência elástico S e o momento elástico máximo M_e.
  • A distância à fibra mais afastada da linha neutra (do centro geométrico) é a maior entre topo e base. Distância ao topo:
c_{\text{top}}=\bar{y}=39,375\\ \mathrm{mm}.
Distância à fibra mais distante na base (altura total da seção = 10+100=110\\ \mathrm{mm}):
c_{\text{base}}=110-\bar{y}=110-39,375=70,625\\ \mathrm{mm}.
A maior é c_{\max}=70,625\\ \mathrm{mm}.
  • Módulo de resistência elástico:
S=\frac{I_{\text{total}}}{c_{\max}}=\frac{3\,945\,416{,}667}{70,625}\approx55\,864{,}3\\ \mathrm{mm}^3.
  • Momento elástico máximo (usando \sigma_E=250\\ \mathrm{MPa}=250\\ \mathrm{N/mm}^2):
M_e=\sigma_E\cdot S=250\cdot55\,864{,}3\approx13\,966\,075\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Em unidades práticas:
M_e\approx13\,966{,}1\\ \mathrm{N\cdot m}\approx13{,}97\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 5

Determinar a posição do eixo neutro plástico (PNA) e calcular o módulo plástico Z_p e o momento plástico M_p.
Conceito e procedimento (explicação didática):
  • Em plástico perfeito, sob flexão a seção se reorganiza em duas zonas totalmente plastificadas: uma em compressão e outra em tração. O eixo neutro plástico (PNA) fica onde a área em compressão é igual à área em tração (porque as tensões têm mesmo módulo \sigma_E e as forças resultantes devem se equilibrar).
  • Assim, para achar o PNA basta encontrar a cota y_p medida do topo tal que a área acima de y_p seja metade da área total: A_{\text{acima}}=A_{\text{aba}}+ partes superiores das webs até y_p deve ser A_{\text{tot}}/2.
Área total A_{\text{tot}}=3200\\ \mathrm{mm}^2, metade =1600\\ \mathrm{mm}^2.
  • A aba inteira fornece 1200\\ \mathrm{mm}^2. Faltam 400\\ \mathrm{mm}^2 para atingir 1600. As duas webs juntas têm largura total 2t=20\\ \mathrm{mm}, portanto a profundidade necessária dentro das webs é:
\Delta y=\frac{400}{20}=20\\ \mathrm{mm}.
Logo o PNA está 20\\ \mathrm{mm} abaixo do fundo da aba, isto é
y_p=10+20=30\\ \mathrm{mm}\\ \text{(medido a partir do topo)}.
Calcular o módulo plástico Z_p:
  • Primeiro momento da área de compressão em relação ao PNA (somando todas as partes acima do PNA). Em seguida o módulo plástico total Z_p é a soma dos momentos das áreas de compressão e tração; como as áreas de compressão e de tração são iguais, basta calcular o momento da metade (compressão) e multiplicar por 2:
Z_p=2\cdot\Big(\text{primeiro momento da área acima do PNA}\Big).á
Componentes acima do PNA:
  1. Aba inteira: A_{\text{aba}}=1200\\ \mathrm{mm}^2, centro a y_{\text{aba}}=5\\ \mathrm{mm} do topo. Distância do PNA ( y_p=30) ao centro da aba:
d_{\text{aba}}^{(p)}=30-5=25\\ \mathrm{mm}.
Contribuição: 1200\cdot25=30\,000\\ \mathrm{mm}^3.
  1. Partes superiores das duas webs até o PNA: cada web tem altura acima do PNA igual a 20\\ \mathrm{mm}, área por web =10\cdot20=200\\ \mathrm{mm}^2, então as duas juntas =400\\ \mathrm{mm}^2. O centroid dessas porções está a y=10+10=20\\ \mathrm{mm} do topo. Distância até o PNA:
d_{\text{webs}}^{(p)}=30-20=10\\ \mathrm{mm}.
Contribuição conjunta: 400\cdot10=4\,000\\ \mathrm{mm}^3.
Somando as contribuições da metade superior:
\text{primeiro momento (metade)}=30\,000+4\,000=34\,000\\ \mathrm{mm}^3.
Portanto
Z_p=2\cdot34\,000=68\,000\\ \mathrm{mm}^3.
Momento plástico máximo:
M_p=\sigma_E\cdot Z_p=250\cdot68\,000=17\,000\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}=17\,000\\ \mathrm{N\cdot m}=17{,}0\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Observação intuitiva: o fator de forma plástica M_p/M_e\approx17{,}0/13{,}97\approx1{,}22, ou seja, a seção pode resistir cerca de 22% a mais em momento plástico do que no limite elástico — isso é típico de seções de parede delgada com geometria não muito desfavorável.

Resposta

M_e\approx13{,}97\\ \mathrm{kN\cdot m}
M_p\approx17{,}0\\ \mathrm{kN\cdot m}

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