(1) O eixo circular maciço está submetido a um torque interno
. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B. Represente cada estado de tensão em um elemento de volume.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão de cisalhamento nos pontos A e B.
- Representar cada estado de tensão em um elemento de volume (ou seja, descrever as componentes de cisalhamento no pequeno elemento).
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem):
- Torque aplicado:
. - Módulo de cisalhamento:
. - O eixo é maciço e circular.
- Distância do centro até o ponto A:
. - Distância do centro até o ponto B:
.
Observações úteis (não vou resolver ainda):
- Para um eixo circular maciço submetido a torção, a tensão de cisalhamento em função do raio é proporcional a
, ou seja, , onde é o momento polar de inércia da seção transversal. - Vou trabalhar com unidades mm e N para evitar erros: converterei
para .
Passo 2
Fórmula básica e significado das variáveis (aula curta):
- Para um eixo circular maciço submetido a torque torsor
, a tensão de cisalhamento em um ponto a uma distância radial do centro é
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento (unidade: ou ), -
é o torque aplicado (unidade: ), -
é a distância radial do ponto ao eixo (unidade: ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal em torno do eixo (unidade: ). -
Para uma seção circular sólida de raio
, o momento polar de inércia é obtido integrando sobre a área:
Explicando:
em coordenadas polares vale
; ao multiplicar por
obtemos
na integral radial; o fator
vem da integração em
de
a
.
Passo 3
Converter unidades e calcular
:
- Converter o torque para
:
- Raio externo (peguei da imagem):
. - Calcular
:
- Calcular
:
- Valor numérico (usar
):
Passo 4
Calcular a tensão de cisalhamento no ponto A (
):
- Aplicar a fórmula
:
- Fazer as contas passo a passo:
- Numerador:
. - Dividir:
- Numerador:
- Arredondando de forma prática para a prova:
Passo 5
Calcular a tensão de cisalhamento no ponto B (
):
- Mesma fórmula:
- Passos numéricos:
- Numerador:
. - Divisão:
- Numerador:
- Arredondando:
Passo 6
Como representar o estado de tensões em um elemento de volume (explicação prática e intuitiva):
- Em torção pura de eixo circular maciço não aparecem tensões normais (nenhuma componente
normal), apenas tensões de cisalhamento. - Usamos coordenadas cilíndricas
com ao longo do eixo do eixo. As únicas componentes não nulas são as cisalhantes (ou ), relacionadas entre si por igualdade em valor absoluto (par de forças internas em faces perpendiculares). - Portanto, para desenhar o elemento no ponto A:
- No plano da face normal ao eixo (
-face) aparecerá uma tensão de cisalhamento tangencial de magnitude orientada na direção (circunferencial). - No plano tangencial aparecerá o par correspondente
agindo no sentido oposto para equilibrar. - Não há tensões normais (
) para torção pura.
- No plano da face normal ao eixo (
- Mesma descrição para B, com
no lugar de . - Em notação de componentes (valores positivos na orientação do torque mostrado na figura):
- Dica prática para a prova: desenhe um cubo pequeno cujo eixo
sai da página; marque as forças de cisalhamento nas faces que têm normais e . Mostre as setas tangenciais nas faces e escreva o valor numérico de .