(1) O eixo circular maciço está submetido a um torque interno T=5 \mathrm{kN} . \mathrm{m}. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B. Represente cada estado de tensão em um elemento de volume. (\mathrm{G}=80 \mathrm{GPa})

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão de cisalhamento nos pontos A e B.
  • Representar cada estado de tensão em um elemento de volume (ou seja, descrever as componentes de cisalhamento no pequeno elemento).
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem):
  • Torque aplicado: T=5\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Módulo de cisalhamento: G=80\\ \mathrm{GPa}.
  • O eixo é maciço e circular.
  • Distância do centro até o ponto A: r_A=40\\ \mathrm{mm}.
  • Distância do centro até o ponto B: r_B=30\\ \mathrm{mm}.
Observações úteis (não vou resolver ainda):
  • Para um eixo circular maciço submetido a torção, a tensão de cisalhamento em função do raio é proporcional a r, ou seja, \tau(r)=\dfrac{T\,r}{J}, onde J é o momento polar de inércia da seção transversal.
  • Vou trabalhar com unidades mm e N para evitar erros: converterei T para \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 2

Fórmula básica e significado das variáveis (aula curta):
  • Para um eixo circular maciço submetido a torque torsor T, a tensão de cisalhamento em um ponto a uma distância radial r do centro é
\tau(r)=\frac{T\,r}{J}.
Aqui:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}),
  • T é o torque aplicado (unidade: \mathrm{N\cdot mm}),
  • r é a distância radial do ponto ao eixo (unidade: \mathrm{mm}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal em torno do eixo (unidade: \mathrm{mm^4}).
  • Para uma seção circular sólida de raio R, o momento polar de inércia é obtido integrando r^2 sobre a área:
J=\int_A r^2\,dA = 2\pi\int_{0}^{R} r^3\,dr = \frac{\pi}{2}R^4.
Explicando: dA em coordenadas polares vale r\,dr\,d\theta; ao multiplicar por r^2 obtemos r^3 na integral radial; o fator 2\pi vem da integração em \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

Converter unidades e calcular J:
  • Converter o torque para \mathrm{N\cdot mm}:
T = 5\\ \mathrm{kN\cdot m} = 5{,}000\\ \mathrm{N\cdot m} = 5{,}000\times1{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm} = 5{,}000{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Raio externo (peguei da imagem): R=r_A=40\\ \mathrm{mm}.
  • Calcular R^4:
R^4 = 40^4 = 2{,}560{,}000\\ \mathrm{mm^4}.
  • Calcular J:
J=\frac{\pi}{2}R^4=\frac{\pi}{2}\cdot2{,}560{,}000 = 1{,}280{,}000\pi\\ \mathrm{mm^4}.
  • Valor numérico (usar \pi\approx3{,}1416):
J \approx 1{,}280{,}000\times3{,}1416 = 4{,}021{,}238{,}4\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento no ponto A ( r_A=40\\ \mathrm{mm}):
  • Aplicar a fórmula \tau(r)=\dfrac{T\,r}{J}:
\tau_A=\frac{T\,r_A}{J}=\frac{5{,}000{,}000\cdot40}{4{,}021{,}238{,}4}\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Fazer as contas passo a passo:
    • Numerador: 5{,}000{,}000\times40=200{,}000{,}000.
    • Dividir: \dfrac{200{,}000{,}000}{4{,}021{,}238{,}4}\approx49{,}745\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Arredondando de forma prática para a prova:
\tau_A\approx49{,}7\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento no ponto B ( r_B=30\\ \mathrm{mm}):
  • Mesma fórmula:
\tau_B=\frac{T\,r_B}{J}=\frac{5{,}000{,}000\cdot30}{4{,}021{,}238{,}4}\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Passos numéricos:
    • Numerador: 5{,}000{,}000\times30=150{,}000{,}000.
    • Divisão: \dfrac{150{,}000{,}000}{4{,}021{,}238{,}4}\approx37{,}309\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Arredondando:
\tau_B\approx37{,}3\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Como representar o estado de tensões em um elemento de volume (explicação prática e intuitiva):
  • Em torção pura de eixo circular maciço não aparecem tensões normais (nenhuma componente \sigma normal), apenas tensões de cisalhamento.
  • Usamos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com z ao longo do eixo do eixo. As únicas componentes não nulas são as cisalhantes \tau_{z\theta} (ou \tau_{\theta z}), relacionadas entre si por igualdade \tau_{z\theta}=\tau_{\theta z} em valor absoluto (par de forças internas em faces perpendiculares).
  • Portanto, para desenhar o elemento no ponto A:
    • No plano da face normal ao eixo ( z-face) aparecerá uma tensão de cisalhamento tangencial de magnitude \tau_A orientada na direção \theta (circunferencial).
    • No plano tangencial aparecerá o par correspondente \tau_{\theta z}=\tau_A agindo no sentido oposto para equilibrar.
    • Não há tensões normais ( \sigma_r=\sigma_\theta=\sigma_z=0) para torção pura.
  • Mesma descrição para B, com \tau_B no lugar de \tau_A.
  • Em notação de componentes (valores positivos na orientação do torque mostrado na figura):
\begin{aligned} \text{No ponto A:}&\qquad \tau_{z\theta}=\tau_{\theta z}=\;49{,}7\\ \mathrm{MPa},\quad \text{todas as demais componentes }=0.\\\ \text{No ponto B:}&\qquad \tau_{z\theta}=\tau_{\theta z}=\;37{,}3\\ \mathrm{MPa},\quad \text{todas as demais componentes }=0. \end{aligned}
  • Dica prática para a prova: desenhe um cubo pequeno cujo eixo z sai da página; marque as forças de cisalhamento nas faces que têm normais z e \theta. Mostre as setas tangenciais nas faces e escreva o valor numérico de \tau.

Resposta

\tau_A = 49{,}7\\ \mathrm{MPa}
\tau_B = 37{,}3\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados