(6) O eixo é feito de latão vermelho C83400 (G=39 GPa), e possui seção transversal elíptica. O trecho
é maciço ( 50 mm de diâmetro), enquanto o trecho
é vazado ( 20 mm de diâmetro do interior). Se o eixo for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões
e CB; e (b) o ângulo de torção da extremidade
em relação à extremidade
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões
e ; - (b) determinar o ângulo de torção da extremidade
em relação à extremidade .
Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura (peguei estes dados da imagem/enunciado):
- Há duas forças de
aplicadas nas extremidades do braço, cada uma a do eixo (ou seja, braço total de , com cada força a do centro). - O material tem módulo de cisalhamento
dado por . - Diâmetro externo do eixo:
. - Para a região
: o eixo é maciço (ou seja, seção circular maciça de diâmetro ); comprimento da região : (peguei este valor da figura). - Para a região
: o eixo é vazado com diâmetro interno e diâmetro externo ; comprimento da região : (peguei este valor da figura). - Pressuposição de equilíbrio estático: a torção aplicada pelas forças no braço é transmitida pelo eixo e é equilibrada pela ancoragem no ponto inferior; assim o torque interno constante ao longo do eixo vale a soma dos momentos das forças aplicadas no braço.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Calcular o torque resultante aplicado ao eixo a partir das forças no braço. Vou explicar a ideia: cada força
aplicada a uma distância
do eixo produz um momento (torque) de módulo
. Quando há duas forças simétricas que produzem torques no mesmo sentido, o torque total é a soma.
Dados:
e
.
Cálculo:
Comentário didático: pense no braço como duas alavancas; cada força tenta girar o eixo, e como as duas geram giro no mesmo sentido, somam-se.
Passo 3
Relembrar e apresentar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- Tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular sujeito a torque:
onde:
-
é o torque interno (em ); -
é o raio externo da seção (em ); -
é o momento polar de inércia da seção transversal (em ).
- Momentos polares para seções circulares (formas padrões):
- Para seção circular maciça de diâmetro
:
- Para seção circular vazada com diâmetro externo
e interno :
- Ângulo de torção
ao longo de um eixo circular sujeito a torque constante:
onde:
-
é o comprimento do segmento (em ); -
é o módulo de cisalhamento (em ); -
como acima.
Comentário didático: a tensão máxima ocorre na superfície externa porque
varia linearmente com o raio (
); o ângulo de torção acumula linearmente ao longo de trechos, por isso somamos
de cada trecho.
Passo 4
Calcular
para a região
(maciço,
) e para a região
(vazada,
,
). Vou mostrar passo a passo os números:
Para
(maciço):
Calculemos
:
Portanto
Para
(vazado):
Já temos
. Calcule
:
Então a diferença:
Logo
Comentário: observe que a introdução do furo interno diminui
um pouco, o que aumenta ligeiramente a tensão para o mesmo torque.
Passo 5
Calcular as tensões de cisalhamento máximas usando
. O raio externo
é
. Torque
.
Para
(maciço):
Calcule:
Para
(vazado):
Calcule:
Interpretação didática: o furo interno reduz
, portanto para o mesmo
a tensão máxima aumenta ligeiramente na região vazada.
Passo 6
Calcular o ângulo de torção total entre as extremidades (irá somar a contribuição dos dois trechos). Fórmula para cada trecho:
Convertendo
:
Contribuição da região
(comprimento
):
Calcule numericamente:
portanto
Contribuição da região
(comprimento
):
Calcule numericamente:
logo
Ângulo total
:
Converter para graus (opcional, para intuição):
.
Comentário didático: veja que a maior parte da torção ocorre na região mais longa ou na seção com menor
; como os comprimentos e
são parecidos, ambas contribuem, e somamos as rotações.
Passo 7
Resumindo os resultados com uma breve interpretação física e verificação de ordem de grandeza:
- As tensões de cisalhamento máximas são da ordem de
, um valor pequeno comparado à resistência típica do latão, então o eixo não está muito solicitado em cisalhamento por esse carregamento. - O ângulo de torção total entre as extremidades é bem pequeno, cerca de
(aprox. ), o que também é coerente com um eixo relativamente rígido e curto.