(6) O eixo é feito de latão vermelho C83400 (G=39 GPa), e possui seção transversal elíptica. O trecho \mathbf{A C} é maciço ( 50 mm de diâmetro), enquanto o trecho \mathbf{C B} é vazado ( 20 mm de diâmetro do interior). Se o eixo for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões \mathbf{A C} e CB; e (b) o ângulo de torção da extremidade \mathbf{B} em relação à extremidade \mathbf{A}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões \mathbf{A C} e \mathbf{C B};
  • (b) determinar o ângulo de torção da extremidade \mathbf{B} em relação à extremidade \mathbf{A}.
Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura (peguei estes dados da imagem/enunciado):
  • Há duas forças de 100\\ \mathrm{N} aplicadas nas extremidades do braço, cada uma a 0,15\\ \mathrm{m} do eixo (ou seja, braço total de 0,30\\ \mathrm{m}, com cada força a 0,15\\ \mathrm{m} do centro).
  • O material tem módulo de cisalhamento G dado por G=39\\ \mathrm{GPa}.
  • Diâmetro externo do eixo: d_o=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Para a região \mathbf{A C}: o eixo é maciço (ou seja, seção circular maciça de diâmetro d_o=0,05\\ \mathrm{m}); comprimento da região \mathbf{A C}: L_{AC}=0,9\\ \mathrm{m} (peguei este valor da figura).
  • Para a região \mathbf{C B}: o eixo é vazado com diâmetro interno d_i=20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m} e diâmetro externo d_o=0,05\\ \mathrm{m}; comprimento da região \mathbf{C B}: L_{CB}=0,6\\ \mathrm{m} (peguei este valor da figura).
  • Pressuposição de equilíbrio estático: a torção aplicada pelas forças no braço é transmitida pelo eixo e é equilibrada pela ancoragem no ponto inferior; assim o torque interno constante ao longo do eixo vale a soma dos momentos das forças aplicadas no braço.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o torque resultante aplicado ao eixo a partir das forças no braço. Vou explicar a ideia: cada força F aplicada a uma distância r do eixo produz um momento (torque) de módulo T_1=F\cdot r. Quando há duas forças simétricas que produzem torques no mesmo sentido, o torque total é a soma.
Dados: F=100\\ \mathrm{N} e r=0,15\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
T = 2\cdot F\cdot r = 2\cdot 100\\ \mathrm{N}\cdot 0,15\\ \mathrm{m} = 30\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário didático: pense no braço como duas alavancas; cada força tenta girar o eixo, e como as duas geram giro no mesmo sentido, somam-se.

Passo 3

Relembrar e apresentar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  1. Tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular sujeito a torque:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque interno (em \mathrm{N\cdot m});
  • c é o raio externo da seção (em \mathrm{m});
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (em \mathrm{m^4}).
  1. Momentos polares para seções circulares (formas padrões):
  • Para seção circular maciça de diâmetro d:
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi d^{4}}{32}.ç
  • Para seção circular vazada com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi (d_o^{4}-d_i^{4})}{32}.
  1. Ângulo de torção \theta ao longo de um eixo circular sujeito a torque T constante:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • L é o comprimento do segmento (em \mathrm{m});
  • G é o módulo de cisalhamento (em \mathrm{Pa});
  • J como acima.
Comentário didático: a tensão máxima ocorre na superfície externa porque \tau varia linearmente com o raio ( \tau=(T r)/J); o ângulo de torção acumula linearmente ao longo de trechos, por isso somamos \theta de cada trecho.

Passo 4

Calcular J para a região \mathbf{A C} (maciço, d=0,05\\ \mathrm{m}) e para a região \mathbf{C B} (vazada, d_o=0,05\\ \mathrm{m}, d_i=0,02\\ \mathrm{m}). Vou mostrar passo a passo os números:
Para \mathbf{A C} (maciço):
J_{AC}=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi (0,05)^{4}}{32}.
Calculemos (0,05)^{4}:
(0,05)^{2}=0,0025,\qquad (0,05)^{4}=(0,0025)^{2}=6{,}25\times10^{-6}.
Portanto
J_{AC}=\frac{\pi\cdot 6{,}25\times10^{-6}}{32}\approx 6{,}136\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
Para \mathbf{C B} (vazado):
J_{CB}=\frac{\pi (d_o^{4}-d_i^{4})}{32}=\frac{\pi\big((0,05)^{4}-(0,02)^{4}\big)}{32}.
Já temos (0,05)^{4}=6{,}25\times10^{-6}. Calcule (0,02)^{4}:
(0,02)^{2}=0,0004,\qquad (0,02)^{4}=(0,0004)^{2}=1{,}6\times10^{-7}.
Então a diferença:
(0,05)^{4}-(0,02)^{4}=6{,}25\times10^{-6}-1{,}6\times10^{-7}=6{,}09\times10^{-6}.
Logo
J_{CB}=\frac{\pi\cdot 6{,}09\times10^{-6}}{32}\approx 5{,}977\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
Comentário: observe que a introdução do furo interno diminui J um pouco, o que aumenta ligeiramente a tensão para o mesmo torque.

Passo 5

Calcular as tensões de cisalhamento máximas usando \tau_{\max}=T\,c/J. O raio externo c é c= d_o/2 = 0,05/2=0,025\\ \mathrm{m}. Torque T=30\\ \mathrm{N\cdot m}.
Para \mathbf{A C} (maciço):
\tau_{AC}=\frac{T\,c}{J_{AC}}=\frac{30\cdot 0,025}{6{,}136\times10^{-7}}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule:
30\cdot0,025=0,75, \qquad \tau_{AC}=\frac{0,75}{6{,}136\times10^{-7}}\approx 1{,}22\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}22\\ \mathrm{MPa}.
Para \mathbf{C B} (vazado):
\tau_{CB}=\frac{T\,c}{J_{CB}}=\frac{30\cdot 0,025}{5{,}977\times10^{-7}}.
Calcule:
\tau_{CB}=\frac{0,75}{5{,}977\times10^{-7}}\approx 1{,}26\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}26\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação didática: o furo interno reduz J, portanto para o mesmo T a tensão máxima aumenta ligeiramente na região vazada.

Passo 6

Calcular o ângulo de torção total entre as extremidades (irá somar a contribuição dos dois trechos). Fórmula para cada trecho:
\theta_{\text{trecho}}=\frac{T\,L}{G\,J}.
Convertendo G:
G=39\\ \mathrm{GPa}=39\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Contribuição da região \mathbf{A C} (comprimento L_{AC}=0,9\\ \mathrm{m}):
\theta_{AC}=\frac{T\,L_{AC}}{G\,J_{AC}}=\frac{30\cdot 0,9}{39\times10^{9}\cdot 6{,}136\times10^{-7}}.
Calcule numericamente:
30\cdot0,9=27, \qquad 39\times10^{9}\cdot 6{,}136\times10^{-7}\approx 2{,}393\times10^{4},
portanto
\theta_{AC}\approx \frac{27}{2{,}393\times10^{4}}\approx 1{,}13\times10^{-3}\\ \text{rad}.
Contribuição da região \mathbf{C B} (comprimento L_{CB}=0,6\\ \mathrm{m}):
\theta_{CB}=\frac{T\,L_{CB}}{G\,J_{CB}}=\frac{30\cdot 0,6}{39\times10^{9}\cdot 5{,}977\times10^{-7}}.
Calcule numericamente:
30\cdot0,6=18, \qquad 39\times10^{9}\cdot 5{,}977\times10^{-7}\approx 2{,}331\times10^{4},
logo
\theta_{CB}\approx \frac{18}{2{,}331\times10^{4}}\approx 7{,}73\times10^{-4}\\ \text{rad}.
Ângulo total \theta_{total}=\theta_{AC}+\theta_{CB}:
\theta_{total}\approx 1{,}13\times10^{-3}+7{,}73\times10^{-4}=1{,}90\times10^{-3}\\ \text{rad}.
Converter para graus (opcional, para intuição): 1{,}90\times10^{-3}\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}109^\circ.
Comentário didático: veja que a maior parte da torção ocorre na região mais longa ou na seção com menor J; como os comprimentos e J são parecidos, ambas contribuem, e somamos as rotações.

Passo 7

Resumindo os resultados com uma breve interpretação física e verificação de ordem de grandeza:
  • As tensões de cisalhamento máximas são da ordem de 1{,}2\\ \mathrm{MPa}, um valor pequeno comparado à resistência típica do latão, então o eixo não está muito solicitado em cisalhamento por esse carregamento.
  • O ângulo de torção total entre as extremidades é bem pequeno, cerca de 1{,}90\times10^{-3}\\ \text{rad} (aprox. 0{,}109^\circ), o que também é coerente com um eixo relativamente rígido e curto.

Resposta

\tau_{AC}=1{,}22\\ \mathrm{MPa}
\tau_{CB}=1{,}26\\ \mathrm{MPa}
\theta_{B\text{ em relação a }A}=1{,}90\times10^{-3}\\ \text{rad}\\ (\approx0{,}109^\circ)çã

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