16.18 Uma operação de fresamento de faceamento deve ser realizada em ferro fundido para produzir uma superfície com rugosidade de 36 \mu-in. A ferramenta utilizada usa quatro insertos e seu diâmetro é 3,0 \mathrm{in}. A fresa gira a 475 rpm . Para obter o melhor acabamento possível, um inserto de metal duro com raio de ponta 4 / 64 in é utilizado. Determine a velocidade de avanço necessária (in/min) para alcançar o acabamento de 36 \mu-in desejado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Pedido: determinar a velocidade de avanço (em in/min).
  • Dados fornecidos:
    • rugosidade desejada: \,36\times10^{-6}\\ \mathrm{in} (ou seja, 36\,\mu\mathrm{in});
    • número de insertos: Z=4;
    • diâmetro da fresa: D=3{,}0\\ \mathrm{in} (não será necessário para a conta de avanço, mas está no enunciado);
    • velocidade de rotação: N=475\\ \mathrm{rpm};
    • raio da ponta do inserto: r_e=\dfrac{4}{64}\\ \mathrm{in}=\dfrac{1}{16}\\ \mathrm{in}=0{,}0625\\ \mathrm{in}.
Resumo: com esses dados precisamos achar a velocidade de avanço V_f em \mathrm{in/min} que resulte em R_a=36\,\mu\mathrm{in}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e geométrica).
Quando um inserto percorre a peça com um avanço por dente f_z (distância que a ferramenta avança entre passadas consecutivas de dentes), a superfície fica com pequenos “caminhos” (cúspides). A altura máxima desses entalhes (cusp height) pode ser obtida geometricamente com o arco de raio r_e. A expressão exata da altura h é
h = r_e - \sqrt{r_e^2 - \left(\dfrac{f_z}{2}\right)^2}.
Para o caso prático em usinagem, f_z é geralmente pequeno comparado a r_e, e podemos aproximar usando expansão para pequenas quantidades. Tomando \left(\dfrac{f_z}{2}\right)^2 pequeno, obtemos a aproximação
h \approx \dfrac{f_z^2}{8\,r_e}.
Esta é uma fórmula padrão (vem da aproximação do termo \sqrt{1-x}\approx1-\tfrac{x}{2} para x\ll1).
Agora, a rugosidade média aritmética R_a é relacionada à altura das cúspides por uma constante empírica usada em usinagem. O uso padrão é
R_a \approx \dfrac{h}{4}.
Combinando as duas expressões ( h em função de f_z e R_a em função de h ) obtemos a fórmula prática que usaremos:
R_a \approx \dfrac{f_z^2}{32\,r_e}.
Explicando as variáveis:
  • R_a é a rugosidade média desejada (unidades de comprimento, aqui \mathrm{in});
  • f_z é o avanço por dente (unidades de comprimento por dente, aqui \mathrm{in/dente});
  • r_e é o raio da ponta do inserto (em \mathrm{in});
  • Z é o número de dentes/insertos;
  • N é a rotação da fresa ( \mathrm{rpm});
  • V_f (velocidade de avanço, que queremos) satisfaz
V_f = f_z\cdot Z\cdot N.
Observação rápida: essas fórmulas são aproximações usualmente aceitas para projetar o acabamento; são válidas quando f_z é pequeno comparado a r_e.

Passo 3

Isolar f_z a partir de R_a \approx \dfrac{f_z^2}{32\,r_e}.
Rearranjando,
f_z = \sqrt{32\,r_e\,R_a}.
Agora substituímos os valores (lembrando de converter R_a para polegadas):
  • R_a = 36\,\mu\mathrm{in} = 36\times10^{-6}\\ \mathrm{in};
  • r_e = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{in} = 0{,}0625\\ \mathrm{in}.
Calcular o conteúdo do radical:
32\,r_e\,R_a = 32 \times 0{,}0625 \times 36\times10^{-6}.
Note que 32\times 0{,}0625 = 2. Então
32\,r_e\,R_a = 2 \times 36\times10^{-6} = 72\times10^{-6} = 7{,}2\times10^{-5}.
Logo
f_z = \sqrt{7{,}2\times10^{-5}}\\ \mathrm{in} \approx 0{,}00848528\\ \mathrm{in/dente}.

Passo 4

Converter f_z em velocidade de avanço V_f.
Usando
V_f = f_z\cdot Z\cdot N,
substituímos f_z\approx0{,}00848528\\ \mathrm{in/dente}, Z=4 e N=475\\ \mathrm{rpm}:
V_f \approx 0{,}00848528 \times 4 \times 475\\ \mathrm{in/min}.
Calcule passo a passo:
0{,}00848528\times 4 = 0{,}03394112,
0{,}03394112\times 475 \approx 16{,}12\\ \mathrm{in/min}.

Passo 5

Interpretação final e observações práticas.
  • Resultado obtido: V_f\approx16{,}12\\ \mathrm{in/min}.
  • Observação: essa velocidade de avanço é a que, teoricamente, produz R_a\approx36\,\mu\mathrm{in} com o raio de ponta informado, segundo as aproximações utilizadas. Em prática, pode-se ajustar ligeiramente (um pouco menor para melhorar acabamento) considerando material, desgaste do inserto e condições reais de usinagem.

Resposta

V_f \approx 16{,}12\\ \mathrm{in/min}

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