16 Calcule as convoluções e transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}(s+1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}(s+1)}\right\}.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função no domínio de Laplace é F(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s+1)}.
  • Deve-se calcular a transformada inversa no tempo f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
  • O enunciado também sugere usar convoluções (outras maneiras de calcular são possíveis).

Passo 2

Explicação do método principal (teorema da convolução) e identificação das transformadas inversas das partes:
  • Teorema da convolução (versão usada aqui): se F(s)=G(s)\,H(s) e g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
  • No nosso caso podemos escrever
\frac{1}{s^{2}(s+1)}=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s+1}.
Identificar as transformadas inversas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t (pois \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}=e^{-t} (pois \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1}).
    Portanto, g(t)=t e h(t)=e^{-t}.

Passo 3

Aplicar a definição da convolução para obter f(t):
f(t)=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} \tau \, e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Vou manipular a integral para ficar mais fácil de calcular: fatoro e^{-t} (que não depende de \tau):
f(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} \tau\,e^{\tau}\,d\tau.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{t} \tau\,e^{\tau}\,d\tau por partes.
Regra de integração por partes: se u(\tau) e v'(\tau) são funções, então
\int u(\tau)v'(\tau)\,d\tau = u(\tau)v(\tau) - \int u'(\tau)v(\tau)\,d\tau.
Escolho:
  • u(\tau)=\tau então u'(\tau)=1.
  • v'(\tau)=e^{\tau} então v(\tau)=e^{\tau}.
    Aplicando:
\int \tau e^{\tau}\,d\tau = \tau e^{\tau} - \int 1\cdot e^{\tau}\,d\tau = \tau e^{\tau} - e^{\tau} + C = (\tau-1)e^{\tau}+C.

Passo 5

Avaliar a integral definida de 0 a t:
\int_{0}^{t} \tau e^{\tau}\,d\tau = \big[(\tau-1)e^{\tau}\big]_{0}^{t} = (t-1)e^{t} - (0-1)e^{0} = (t-1)e^{t} + 1.
Substituindo na expressão de f(t) (veja Passo 3):
f(t)=e^{-t}\big((t-1)e^{t}+1\big) = t-1 + e^{-t}.

Passo 6

(Método alternativo — decomposição em frações parciais, para conferir)
  • Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s^{2}(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+1}.
Multiplicando por s^{2}(s+1):
1 = A s (s+1) + B (s+1) + C s^{2}.
Expansão e comparação de coeficientes:
1 = (A+C)s^{2} + (A+B)s + B.
Comparando termos:
  • coeficiente de s^{2}: A+C=0,
  • coeficiente de s: A+B=0,
  • termo constante: B=1.
    Assim B=1; de A+B=0 vem A=-1; de A+C=0 vem C=1.
    Logo
\frac{1}{s^{2}(s+1)}=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s+1}.
Invertendo termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{s}\right\}=-1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}.
Somando:
f(t) = -1 + t + e^{-t} = t-1+e^{-t},
o mesmo resultado obtido pela convolução.

Passo 7

Verificações rápidas e observações finais:
  • A função é causal (definida para t\ge 0) e f(0)=0 (checa: 0-1+1=0).
  • Ambos os métodos (convolução e frações parciais) concordam, então a resposta está correta.
  • Dica prática para prova: se a expressão pode ser separada em produtos de transformadas simples, a convolução é direta; se preferir, decomposição em frações parciais muitas vezes é mais rápida para inverter termo a termo.

Resposta

t-1+e^{-t}

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