16 Calcule as convoluções e transformadas inversas:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função no domínio de Laplace é
. - Deve-se calcular a transformada inversa no tempo
. - O enunciado também sugere usar convoluções (outras maneiras de calcular são possíveis).
Passo 2
Explicação do método principal (teorema da convolução) e identificação das transformadas inversas das partes:
- Teorema da convolução (versão usada aqui): se
e , , então
- No nosso caso podemos escrever
Identificar as transformadas inversas conhecidas:
-
(pois ). -
(pois ).
Portanto,e .
Passo 3
Aplicar a definição da convolução para obter
:
Vou manipular a integral para ficar mais fácil de calcular: fatoro
(que não depende de
):
Passo 4
Calcular a integral
por partes.
Regra de integração por partes: se e
são funções, então
Regra de integração por partes: se
Escolho:
-
então . -
então .
Aplicando:
Passo 5
Avaliar a integral definida de
a
:
Substituindo na expressão de
(veja Passo 3):
Passo 6
(Método alternativo — decomposição em frações parciais, para conferir)
- Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
:
Expansão e comparação de coeficientes:
Comparando termos:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Assim; de vem ; de vem .
Logo
Invertendo termo a termo:
Somando:
o mesmo resultado obtido pela convolução.
Passo 7
Verificações rápidas e observações finais:
- A função é causal (definida para
) e (checa: ). - Ambos os métodos (convolução e frações parciais) concordam, então a resposta está correta.
- Dica prática para prova: se a expressão pode ser separada em produtos de transformadas simples, a convolução é direta; se preferir, decomposição em frações parciais muitas vezes é mais rápida para inverter termo a termo.