16 Calcule as convoluções e transformadas inversas: \mathcal{L}\left\{t * e^{-t}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da convolução entre t e e^{-t}, isto é:
\mathcal{L}\{t * e^{-t}\}.
Informações dadas e objetivo claro:
A função f(t)=t e g(t)=e^{-t}, ambas consideradas nulas para t<0 (causais).
Precisa-se da transformada de Laplace do sinal convoluído f*g e, implicitamente, entender ou obter também a forma em tempo da convolução (para verificar a inversa).
Lembrete: a convolução é definida por (f*g)(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Passo 2
Teoria útil (explicada passo a passo):
Teorema da convolução para transformada de Laplace: a transformada de Laplace do produto de convolução é o produto das transformadas. Em fórmulas:
Aqui \mathcal{L}\{h\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} h(t)e^{-s t}\,dt e s é uma variável complexa; para as funções dadas a região de convergência será \Re(s)>0.
Portanto, em vez de calcular diretamente a integral dupla da transformada da convolução, é muito mais prático calcular separadamente \mathcal{L}\{t\} e \mathcal{L}\{e^{-t}\} e multiplicar.
Passo 3
Calcular \mathcal{L}\{t\} com detalhes (integração por partes):
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Fazendo integração por partes: escolha u=t (logo du=dt) e dv=e^{-s t}dt (logo v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}). Então