16 Calcule as convoluções e transformadas inversas:
\mathcal{L}\left\{t * e^{-t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da convolução entre t e e^{-t}, isto é:
\mathcal{L}\{t * e^{-t}\}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função f(t)=t e g(t)=e^{-t}, ambas consideradas nulas para t<0 (causais).
  • Precisa-se da transformada de Laplace do sinal convoluído f*g e, implicitamente, entender ou obter também a forma em tempo da convolução (para verificar a inversa).
  • Lembrete: a convolução é definida por (f*g)(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Teoria útil (explicada passo a passo):
  • Teorema da convolução para transformada de Laplace: a transformada de Laplace do produto de convolução é o produto das transformadas. Em fórmulas:
\mathcal{L}\{f*g\}=\mathcal{L}\{f\}\cdot\mathcal{L}\{g\}.
Aqui \mathcal{L}\{h\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} h(t)e^{-s t}\,dt e s é uma variável complexa; para as funções dadas a região de convergência será \Re(s)>0.
  • Portanto, em vez de calcular diretamente a integral dupla da transformada da convolução, é muito mais prático calcular separadamente \mathcal{L}\{t\} e \mathcal{L}\{e^{-t}\} e multiplicar.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{t\} com detalhes (integração por partes):
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Fazendo integração por partes: escolha u=t (logo du=dt) e dv=e^{-s t}dt (logo v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}). Então
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \left. -\dfrac{t}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
  • O termo de fronteira vale zero para \Re(s)>0 porque t e^{-s t}\to0 quando t\to\infty, e em t=0 é zero.
  • A integral restante é \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}}.
    Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{-t}\}:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt=\dfrac{1}{s+1},
válido para \Re(s+1)>0, isto é \Re(s)>-1. Em conjunto com a necessidade de \Re(s)>0 do item anterior, tomamos \Re(s)>0.

Passo 5

Aplicar o teorema da convolução: multiplicando as transformadas obtidas
\mathcal{L}\{t * e^{-t}\}(s)=\mathcal{L}\{t\}(s)\cdot\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}\cdot\dfrac{1}{s+1}=\dfrac{1}{s^{2}(s+1)}.
Essa é a transformada pedida. Região de validade: \Re(s)>0.

Passo 6

Calcular a convolução em tempo (verificação e para obter a transformada inversa):
(t*e^{-t})(t)=\int_{0}^{t} \tau\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t} \tau e^{\tau}\,d\tau.
Calcular \int_{0}^{t} \tau e^{\tau}\,d\tau por partes: seja u=\tau ( du=d\tau) e dv=e^{\tau}d\tau ( v=e^{\tau}):
\int_{0}^{t} \tau e^{\tau}\,d\tau = \left.\tau e^{\tau}\right|_{0}^{t} - \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = t e^{t} - (e^{t}-1) = (t-1)e^{t}+1.
Multiplicando por e^{-t}:
(t*e^{-t})(t)=e^{-t}\big((t-1)e^{t}+1\big)=t-1+e^{-t}.
Cheque rápido em t=0: 0-1+1=0, coerente com convolução causal.

Passo 7

Obter a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{2}(s+1)} por frações simples (verifica-se consistência):
Procuramos
\dfrac{1}{s^{2}(s+1)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^{2}}+\dfrac{C}{s+1}.
Multiplicando tudo por s^{2}(s+1) e igualando coeficientes obtém-se B=1, A=-1, C=1. Assim
\dfrac{1}{s^{2}(s+1)}=-\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}+\dfrac{1}{s+1}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}(s+1)}\right\}(t) = -1 + t + e^{-t} = t-1+e^{-t},
o mesmo resultado que a convolução direta, conferindo que tudo está consistente.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t * e^{-t}\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s+1)}
(t*e^{-t})(t)=t-1+e^{-t}

Exercícios relacionados