16 - Calcule a razão de espiras de um transformador usado para “casar” uma carga de 14400 \Omega com uma carga de 400 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas/impedâncias e pede a razão de espiras do transformador que as casa. Informações fornecidas:
  • Impedância 1: Z_1 = 14400\\ \Omega.
  • Impedância 2: Z_2 = 400\\ \Omega.
O que se pede: encontrar a razão de espiras entre os dois enrolamentos do transformador (uma razão do tipo N_1:N_2) que faz com que uma impedância vista do outro lado seja igual à outra impedância dada.

Passo 2

Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Definição das variáveis:
  • N_1 = número de espiras do enrolamento 1 (lado que vê Z_1 ou que será o primário, dependendo do caso).
  • N_2 = número de espiras do enrolamento 2 (lado que vê Z_2, secundário).
  • V_1 e V_2 = tensões nos enrolamentos 1 e 2.
  • I_1 e I_2 = correntes nos enrolamentos 1 e 2.
  • Z_1 e Z_2 = impedâncias ligadas aos respectivos enrolamentos.
  1. Relações básicas (para um transformador ideal):
  • A razão de tensões é proporcional à razão de espiras:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}.
  • A razão de correntes é a inversa da razão de espiras:
\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1}.
  1. Impedância refletida: a impedância vista no lado 1 quando uma carga Z_2 está ligada no lado 2 é dada por
Z_{\text{refletida}}=\frac{V_1}{I_1}.
Usando as duas relações acima, escrevemos V_1=(N_1/N_2)V_2 e I_1=(N_2/N_1)I_2. Então
Z_{\text{refletida}}=\frac{V_1}{I_1}=\frac{\dfrac{N_1}{N_2}V_2}{\dfrac{N_2}{N_1}I_2}=\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^{\!2}\frac{V_2}{I_2}.
Mas \dfrac{V_2}{I_2}=Z_2. Portanto chegamos à relação crucial:
Z_{\text{refletida}}=\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^{\!2}Z_2.
Isto mostra que a razão entre as impedâncias é o quadrado da razão de espiras:
\frac{Z_1}{Z_2}=\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^{\!2},
quando se quer que Z_{\text{refletida}}=Z_1.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos números do enunciado.
  1. Calcular a razão das impedâncias:
\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{14400}{400}.
  1. Fazer a divisão dentro de uma raiz quadrada:
\frac{14400}{400}=36.
  1. A razão de espiras é a raiz quadrada dessa razão de impedâncias:
\frac{N_1}{N_2}=\sqrt{36}=6.

Passo 4

Interpretação prática e checagem.
  • Isso significa que o enrolamento ligado à impedância de 14400\\ \Omega deve ter 6 vezes mais espiras que o enrolamento ligado à impedância de 400\\ \Omega.
  • Verificação numérica:
\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^{\!2}\,Z_2=6^{2}\cdot 400=36\cdot 400=14400,
ou seja, com razão 6:1 a impedância de 400\\ \Omega é refletida como 14400\\ \Omega, como queríamos.

Resposta

\dfrac{N_1}{N_2}=6:1

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