15 - Calcule a razão de espiras de um transformador para “casar” uma carga de 20 \Omega com uma outra de 72000 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá duas impedâncias e pede a razão de espiras de um transformador que as faça “casar”, isto é, que uma apareça refletida como a outra. Dados fornecidos:
  • Uma impedância Z_1 = 20\\ \Omega.
  • Outra impedância Z_2 = 72000\\ \Omega.
    O que se pede: calcular a razão de espiras entre os enrolamentos ( N_p e N_s) que faz com que uma dessas impedâncias, refletida através do transformador, seja igual à outra.

Passo 2

Conceito e fórmulas-chave (explicadas de forma simples).
  • Em um transformador ideal, a razão de tensões é igual à razão de espiras:
\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}\,,
onde V_p e V_s são as tensões no primário e no secundário, e N_p, N_s são os números de espiras do primário e do secundário, respectivamente.
  • A impedância refletida do lado secundário vista do primário vale:
Z_{p,\text{ref}}=\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^{2}Z_s.
Aqui:
  • Z_s é a impedância conectada ao secundário,
  • Z_{p,\text{ref}} é a impedância equivalente vista no primário devido a Z_s.
    Essa fórmula vem de combinar V_p/V_s com I_p/I_s e usar Z=V/I. É a relação que usamos para “casar” impedâncias.

Passo 3

Escolher qual impedância vai ser refletida para igualar a outra e montar a equação.
  • Se quisermos que a impedância Z_2=72000\\ \Omega refletida ao primário fique igual a Z_1=20\\ \Omega, usamos
\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^{2}Z_2 = Z_1.
  • Substituindo Z_1 e Z_2 temos a equação a resolver:
\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^{2}\cdot 72000 = 20.

Passo 4

Isolar a razão de espiras e calcular passo a passo.
  • Primeiro dividimos ambos os lados por 72000:
\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^{2} = \frac{20}{72000}.
  • Simplificar a fração:
\frac{20}{72000}=\frac{20}{72{,}000}=\frac{1}{3600}.
  • Agora tiramos a raiz quadrada dos dois lados para obter a razão:
\frac{N_p}{N_s}=\sqrt{\frac{1}{3600}}=\frac{1}{\sqrt{3600}}.
  • Calcular \sqrt{3600} sem calculadora: 3600=36\cdot100=(6^2)\cdot(10^2)=(6\cdot10)^2, logo \sqrt{3600}=6\cdot10=60.
  • Portanto
\frac{N_p}{N_s}=\frac{1}{60}.

Passo 5

Interpretação prática (o que isso significa no enrolamento).
  • A relação \dfrac{N_p}{N_s}=\dfrac{1}{60} significa que o secundário tem 60 vezes mais espiras que o primário.
  • Em termos mais usuais de razão de espiras (secundário para primário):
\frac{N_s}{N_p}=60,
ou seja, N_s:N_p = 60:1.
  • Alternativamente, se preferir refletir Z_1=20\\ \Omega para o secundário de modo a igualar Z_2, a conta dá a mesma magnitude da razão, apenas invertida: \dfrac{N_s}{N_p}=60.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumão prático)
  • Passos rápidos: calcule \dfrac{Z_{\text{maior}}}{Z_{\text{menor}}}, tire raiz quadrada — esse é \dfrac{N_{\text{do lado da maior}}}{N_{\text{do lado da menor}}}. Aqui \dfrac{72000}{20}=3600, \sqrt{3600}=60.
  • Respire fundo: sempre que vir números grandes, tente fatorar (como fizemos: 3600=36\cdot100) para tirar raiz sem calculadora.

Resposta

\dfrac{N_s}{N_p}=60 (ou seja, N_s:N_p=60:1)

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