[16.] Considere a ED
x^{\prime}=x^{3}
(a) Mostre que função
x(t)=\sqrt{\frac{1}{C-2 t}}
é uma família de soluções de um parâmetro.
(b) Encontre uma solução de x^{\prime}=x^{3} que não possa ser escrita nesta forma para qualquer valor de C.
(c) Encontre a solução que satisfaça a condição inicial x(0)=1 e esboce seu gráfico.
(d) A solução na parte (c) tem uma assíntota vertical? Se sim, para qual valor de t ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, ponto a ponto.
  • A equação diferencial dada é x' = x^{3}.
  • O enunciado faz quatro perguntas:
    (a) Mostrar que a função x(t)=\sqrt{\frac{1}{C-2 t}}
    é uma família de soluções com um parâmetro C.
    (b) Encontrar uma solução de \,x'=x^{3}\, que não possa ser escrita na forma acima para nenhum valor de C.
    (c) Determinar a solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 e esboçar seu gráfico.
    (d) Indicar se a solução da parte (c) tem uma assíntota vertical e, em caso afirmativo, para qual valor de t.
  • Informação importante sobre a expressão dada: quando usamos x(t)=\sqrt{\frac{1}{C-2 t}},
    deve-se ter C-2t>0 para que a expressão seja real (e, com a raiz principal, x(t)>0). Isso determina o domínio onde essa fórmula define uma solução real.
A partir daqui eu vou provar que a fórmula realmente satisfaz a EDO, explicar separação de variáveis e integrar passo a passo, aplicar a condição inicial e discutir assíntota vertical.

Passo 2

(a) Mostrar que \,x(t)=\sqrt{\dfrac{1}{C-2t}}\, satisfaz \,x'=x^{3}.
Primeiro reescrevo x(t) num formato que facilita derivar: x(t) = (C-2t)^{-1/2}.
Para derivar vou usar duas ideias básicas:
  • Regra da potência: se y(t)=(u(t))^{\alpha}, então y'=\alpha (u(t))^{\alpha-1} u'(t).
  • Neste caso u(t)=C-2t e \alpha=-\tfrac{1}{2}, e u'(t)=-2.
Aplico a regra da cadeia e da potência: x'(t) = -\tfrac{1}{2}(C-2t)^{-3/2}\cdot(-2).
Calculo o produto dos coeficientes: -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)=1. Logo x'(t) = (C-2t)^{-3/2}.
Agora computo x^{3}: x(t)^{3} = \big((C-2t)^{-1/2}\big)^{3} = (C-2t)^{-3/2}.
Portanto x'(t)= (C-2t)^{-3/2} = x(t)^{3},
o que mostra que a fórmula satisfaz a EDO em qualquer ponto onde C-2t>0. Assim a família \,x(t)=\sqrt{1/(C-2t)}\, é realmente uma família de soluções (para cada valor fixo de C, no intervalo onde C-2t>0).

Passo 3

Comentário didático: por que a condição C-2t>0 aparece?
Ao integrar ou ao manipular a fórmula aparece C-2t no denominador e lá dentro da raiz; para que x(t) seja real e finita é preciso que essa quantidade seja positiva. Em termos de solução de EDO isso diz que cada solução dada por essa fórmula está definida num intervalo máximo da forma (-\infty, C/2) (ou em geral num intervalo onde C-2t>0).

Passo 4

(b) Encontrar uma solução que não possa ser escrita na forma dada para nenhum C.
Uma solução óbvia da EDO é a solução trivial x(t)\equiv 0. Verifico: se x(t)\equiv 0 então x'(t)=0 e x(t)^{3}=0, logo x'=x^{3} é satisfeita. Agora mostro que essa solução não pode ser obtida pela fórmula dada.
Suponha por contradição que exista C e t tal que 0 = \sqrt{\frac{1}{C-2t}}.
Mas a raiz quadrada de um número real não-negativo é zero apenas quando o radicando é zero, ou seja quando \dfrac{1}{C-2t}=0. Isso é impossível porque \dfrac{1}{C-2t}=0 não tem solução em números reais (uma fração com numerador 1 nunca é zero). Portanto a expressão \sqrt{1/(C-2t)} nunca produz zero para nenhum C e t. Conclusão: a solução identicamente zero não está na família dada. Assim x(t)\equiv 0 é um exemplo pedido.
Observação extra (útil na prova): também as soluções dadas pela fórmula são estritamente positivas; soluções que sejam negativas em alguns pontos (ou a solução zero) não aparecem na família com a raiz principal positiva.

Passo 5

(c) Encontrar a solução com condição inicial x(0)=1.
Vou resolver a EDO pela técnica de separação de variáveis (método básico para equações do tipo x'=f(x)) e aplicar a condição inicial. Passos:
  1. Escrevo a EDO em forma separável: \frac{dx}{dt} = x^{3}\quad\Longrightarrow\quad x^{-3}\,dx = dt.
  2. Integro ambos os lados (constante de integração à direita): \int x^{-3}\,dx = \int dt.
  3. Faço a integral do lado esquerdo: \int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = \int x^{ -3}\,dx. Usando a regra da potência para integração, \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + \text{const} para n\neq -1. Aqui n=-3, então \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + \text{const} = -\tfrac{1}{2}x^{-2} + \text{const}.
  4. Igualando às integrais: -\tfrac{1}{2}x^{-2} = t + C',
onde C' é constante de integração. Multiplicando por -2: x^{-2} = -2t -2C'.
Defino C=-2C' (nova constante) e obtenho x^{-2} = C - 2t.
Tomando recíproco e raiz positiva (para corresponder à condição inicial positiva), x(t) = \sqrt{\frac{1}{C-2t}},
o que reconfirma a família já fornecida.
  1. Uso a condição inicial x(0)=1: 1 = x(0) = \sqrt{\frac{1}{C-0}} = \sqrt{\frac{1}{C}}.
Daí \sqrt{1/C}=1 implica 1/C=1, logo C=1.
Portanto a solução com x(0)=1 é \boxed{\,x(t)=\sqrt{\frac{1}{1-2t}}\,}
com domínio (onde é real) dado por 1-2t>0, isto é t<\tfrac{1}{2}. Note que a escolha do sinal positivo da raiz foi feita porque x(0)=1>0; a outra escolha de sinal negativo daria x(0)=-1 e não satisfaria a condição inicial.

Passo 6

Esboço do gráfico da solução encontrada (descrição para desenhar na prova):
  • Em t=0 temos x(0)=1.
  • Para t aumentando em [0,\tfrac{1}{2}), o denominador 1-2t diminui para zero, portanto x(t) cresce sem limite; a curva sobe e tende para +\infty quando t\to\tfrac{1}{2}^{-}.
  • Para t decrescendo ( t\to -\infty ), o denominador 1-2t\to +\infty, logo x(t)\to 0^{+}. Assim à esquerda a curva se aproxima do eixo t-como assintótica horizontal em x=0 (mas nunca atinge zero).
  • A curva é positiva para todo t<\tfrac{1}{2} e é estritamente crescente em t (pode-se ver x'(t)=x^{3}>0 quando x>0).
Então, ao esboçar: eixo t horizontal, eixo x vertical; ponto em (0,1); curva subindo e indo a +\infty conforme se aproxima de t=\tfrac{1}{2} pela esquerda; à esquerda a curva tende a 0.

Passo 7

(d) A solução da parte (c) tem assíntota vertical? Para qual t?
Sim. A fórmula x(t)=\sqrt{\frac{1}{1-2t}}
tem denomindor 1-2t que se anula em t=\tfrac{1}{2}. Para t\to\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-} temos 1-2t\to 0^{+}, então \dfrac{1}{1-2t}\to +\infty e, portanto, \,x(t)\to +\infty. Isso é a definição de assíntota vertical: a solução diverge para infinito em tempo finito.
Concluo: existe assíntota vertical em t=\dfrac{1}{2}.

Resposta

(a) x(t)=\sqrt{\dfrac{1}{C-2t}} é solução, pois x'(t)=(C-2t)^{-3/2}=x(t)^{3} para C-2t>0.\n
(b) x(t)\equiv 0.\n
(c) x(t)=\sqrt{\dfrac{1}{1-2t}}, com domínio t<\tfrac{1}{2}. (Gráfico: curva positiva passando por (0,1), tende a 0^{+} quando t\to -\infty e a +\infty quando t\to\tfrac{1}{2}^{-}.)\n
(d) Sim. Há assíntota vertical em t=\tfrac{1}{2}.

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