[16.] Considere a ED
(a) Mostre que função
é uma família de soluções de um parâmetro.
(b) Encontre uma solução de
que não possa ser escrita nesta forma para qualquer valor de
.
(c) Encontre a solução que satisfaça a condição inicial
e esboce seu gráfico.
(d) A solução na parte (c) tem uma assíntota vertical? Se sim, para qual valor de
?
(b) Encontre uma solução de
(c) Encontre a solução que satisfaça a condição inicial
(d) A solução na parte (c) tem uma assíntota vertical? Se sim, para qual valor de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, ponto a ponto.
-
A equação diferencial dada é
-
O enunciado faz quatro perguntas:(a) Mostrar que a funçãoé uma família de soluções com um parâmetro
.
(b) Encontrar uma solução deque não possa ser escrita na forma acima para nenhum valor de .
(c) Determinar a solução que satisfaz a condição iniciale esboçar seu gráfico.
(d) Indicar se a solução da parte (c) tem uma assíntota vertical e, em caso afirmativo, para qual valor de. -
Informação importante sobre a expressão dada: quando usamosdeve-se ter
para que a expressão seja real (e, com a raiz principal, ). Isso determina o domínio onde essa fórmula define uma solução real.
A partir daqui eu vou provar que a fórmula realmente satisfaz a EDO, explicar separação de variáveis e integrar passo a passo, aplicar a condição inicial e discutir assíntota vertical.
Passo 2
(a) Mostrar que
satisfaz
Primeiro reescrevo
num formato que facilita derivar:
Para derivar vou usar duas ideias básicas:
- Regra da potência: se
, então . - Neste caso
e , e .
Aplico a regra da cadeia e da potência:
Calculo o produto dos coeficientes:
. Logo
Agora computo
:
Portanto
o que mostra que a fórmula satisfaz a EDO em qualquer ponto onde
. Assim a família
é realmente uma família de soluções (para cada valor fixo de
, no intervalo onde
).
Passo 3
Comentário didático: por que a condição
aparece?
Ao integrar ou ao manipular a fórmula aparece no denominador e lá dentro da raiz; para que
seja real e finita é preciso que essa quantidade seja positiva. Em termos de solução de EDO isso diz que cada solução dada por essa fórmula está definida num intervalo máximo da forma
(ou em geral num intervalo onde
).
Ao integrar ou ao manipular a fórmula aparece
Passo 4
(b) Encontrar uma solução que não possa ser escrita na forma dada para nenhum
.
Uma solução óbvia da EDO é a solução trivial
. Verifico: se
então
e
, logo
é satisfeita. Agora mostro que essa solução não pode ser obtida pela fórmula dada.
Suponha por contradição que exista
e
tal que
Mas a raiz quadrada de um número real não-negativo é zero apenas quando o radicando é zero, ou seja quando
. Isso é impossível porque
não tem solução em números reais (uma fração com numerador
nunca é zero). Portanto a expressão
nunca produz zero para nenhum
e
. Conclusão: a solução identicamente zero não está na família dada. Assim
é um exemplo pedido.
Observação extra (útil na prova): também as soluções dadas pela fórmula são estritamente positivas; soluções que sejam negativas em alguns pontos (ou a solução zero) não aparecem na família com a raiz principal positiva.
Passo 5
(c) Encontrar a solução com condição inicial
.
Vou resolver a EDO pela técnica de separação de variáveis (método básico para equações do tipo
) e aplicar a condição inicial. Passos:
- Escrevo a EDO em forma separável:
- Integro ambos os lados (constante de integração à direita):
- Faço a integral do lado esquerdo:
. Usando a regra da potência para integração, para . Aqui , então - Igualando às integrais:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
:
Defino
(nova constante) e obtenho
Tomando recíproco e raiz positiva (para corresponder à condição inicial positiva),
o que reconfirma a família já fornecida.
- Uso a condição inicial
:
Daí
implica
, logo
.
Portanto a solução com
é
com domínio (onde é real) dado por
, isto é
. Note que a escolha do sinal positivo da raiz foi feita porque
; a outra escolha de sinal negativo daria
e não satisfaria a condição inicial.
Passo 6
Esboço do gráfico da solução encontrada (descrição para desenhar na prova):
- Em
temos . - Para
aumentando em , o denominador diminui para zero, portanto cresce sem limite; a curva sobe e tende para quando . - Para
decrescendo ( ), o denominador , logo . Assim à esquerda a curva se aproxima do eixo -como assintótica horizontal em (mas nunca atinge zero). - A curva é positiva para todo
e é estritamente crescente em (pode-se ver quando ).
Então, ao esboçar: eixo
horizontal, eixo
vertical; ponto em
; curva subindo e indo a
conforme se aproxima de
pela esquerda; à esquerda a curva tende a
.
Passo 7
(d) A solução da parte (c) tem assíntota vertical? Para qual
?
Sim. A fórmula
tem denomindor
que se anula em
. Para
temos
, então
e, portanto,
. Isso é a definição de assíntota vertical: a solução diverge para infinito em tempo finito.
Concluo: existe assíntota vertical em
.
Resposta
(a)
é solução, pois
para
.\n
(b) .\n
(c) , com domínio
. (Gráfico: curva positiva passando por
, tende a
quando
e a
quando
.)\n
(d) Sim. Há assíntota vertical em .
(b)
(c)
(d) Sim. Há assíntota vertical em