Encontre soluções da EDO,
[1.]
u^{\prime}+p u=0,(p constante )) em I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária
u'(x)+p\,u(x)=0,
onde p é uma constante e u é uma função definida em um intervalo I\subseteq\mathbb{R}. Informações dadas:
  • A incógnita é a função u:I\to\mathbb{R}.
  • A notação u' significa \dfrac{du}{dx}.
  • p é constante (pode ser 0 ou qualquer número real).
  • Deve-se obter a família geral de soluções em I.

Passo 2

Vou reescrever a EDO de forma mais explícita, isolando a derivada:
u'(x) = -p\,u(x).
Isto mostra que a equação é do tipo que permite separar as variáveis u e x (desde que u não seja zero identicamente numa etapa intermediária).

Passo 3

Fazer separação de variáveis: escrever os termos com u de um lado e os termos com x do outro. Supondo momentaneamente u(x)\neq 0, tem-se
\frac{du}{dx} = -p\,u \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{u}\,du = -p\,dx.
Aqui explique rapidamente: \dfrac{du}{dx} é uma razão, podemos tratá‑la formalmente como du sobre dx para separar termos; isso é permitido na integração das equações separáveis.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integrais indefinidas produzem uma constante de integração:
\int \frac{1}{u}\,du = \int -p\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|u| = -p x + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Observações didáticas: a integral de 1/u \ln|u| porque a derivada de \ln|u| é 1/u; o valor absoluto aparece para permitir u negativo.

Passo 5

Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
|u| = e^{C}\,e^{-p x}.
Defina A:=e^{C}>0. Então |u|=A e^{-p x}. Agora incorpore o sinal em uma constante real arbitrária C_1 (isto é, escolha C_1\in\mathbb{R} tal que |C_1|=A e sinal apropriado). Assim obtemos a forma geral
u(x)=C_1 e^{-p x},
onde C_1 é uma constante real qualquer. Observação importante: a solução trivial u\equiv 0 é obtida escolhendo C_1=0, portanto está incluída.

Passo 6

Verificação rápida: substituir u(x)=C_1 e^{-p x} na EDO original para conferir:
u'(x) = C_1(-p)e^{-p x} = -p\,C_1 e^{-p x} = -p\,u(x),
logo a equação é satisfeita. Portanto a família encontrada é correta.

Passo 7

Caso especial p=0: a EDO fica u'=0, cujas soluções são as funções constantes. A fórmula u(x)=C_1 e^{-p x} com p=0 u(x)=C_1, que coincide com esse caso; logo a fórmula é válida também quando p=0.

Passo 8

Método alternativo (integradora) — útil em provas para mostrar outro caminho: para uma EDO linear u'+a(x)u=0 a integradaora é \mu(x)=e^{\int a(x)\,dx}. Aqui a(x)=p constante, então \mu(x)=e^{p x}. Multiplicando a EDO por \mu obtém-se
(e^{p x}u(x))' = e^{p x}u'(x)+p e^{p x}u(x) = e^{p x}\big(u'(x)+p u(x)\big)=0.
Integrando dá e^{p x}u(x)=C, portanto u(x)=C e^{-p x}, mesma solução obtida antes. Expliquei esse método porque é o método padrão para equações lineares de primeira ordem.

Passo 9

Condição inicial (como usar na prova): se for dado u(x_0)=u_0, determine a constante C_1 impondo
u_0 = u(x_0) = C_1 e^{-p x_0}\quad\Rightarrow\quad C_1 = u_0 e^{p x_0}.
Assim a solução com condição inicial fica
u(x)=u_0\,e^{-p(x-x_0)}.
Isto é prático: basta substituir x=x_0 para encontrar C_1.

Passo 10

Resumo e dica de prova: a equação é separável e também linear com coeficiente constante; qualquer uma das duas abordagens chega à mesma resposta. Na hora da prova, escolha separação (mais direta aqui) ou integradora se a questão envolver termo não homogêneo. Respira fundo: memorizar a forma u(x)=C e^{-p x} e saber derivá‑la rápido já resolve essa questão.

Resposta

u(x)=C\,e^{-p x},\quad C\in\mathbb{R}.

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