Encontre soluções da EDO,
[1.]
constante
em
[1.]
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária
onde
é uma constante e
é uma função definida em um intervalo
. Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A notação
significa . -
é constante (pode ser ou qualquer número real). - Deve-se obter a família geral de soluções em
.
Passo 2
Vou reescrever a EDO de forma mais explícita, isolando a derivada:
Isto mostra que a equação é do tipo que permite separar as variáveis
e
(desde que
não seja zero identicamente numa etapa intermediária).
Passo 3
Fazer separação de variáveis: escrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Supondo momentaneamente
, tem-se
Aqui explique rapidamente:
é uma razão, podemos tratá‑la formalmente como
sobre
para separar termos; isso é permitido na integração das equações separáveis.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integrais indefinidas produzem uma constante de integração:
onde
é uma constante real arbitrária. Observações didáticas: a integral de
dá
porque a derivada de
é
; o valor absoluto aparece para permitir
negativo.
Passo 5
Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Defina
. Então
. Agora incorpore o sinal em uma constante real arbitrária
(isto é, escolha
tal que
e sinal apropriado). Assim obtemos a forma geral
onde
é uma constante real qualquer. Observação importante: a solução trivial
é obtida escolhendo
, portanto está incluída.
Passo 6
Verificação rápida: substituir
na EDO original para conferir:
logo a equação é satisfeita. Portanto a família encontrada é correta.
Passo 7
Caso especial
: a EDO fica
, cujas soluções são as funções constantes. A fórmula
com
dá
, que coincide com esse caso; logo a fórmula é válida também quando
.
Passo 8
Método alternativo (integradora) — útil em provas para mostrar outro caminho: para uma EDO linear
a integradaora é
. Aqui
constante, então
. Multiplicando a EDO por
obtém-se
Integrando dá
, portanto
, mesma solução obtida antes. Expliquei esse método porque é o método padrão para equações lineares de primeira ordem.
Passo 9
Condição inicial (como usar na prova): se for dado
, determine a constante
impondo
Assim a solução com condição inicial fica
Isto é prático: basta substituir
para encontrar
.
Passo 10
Resumo e dica de prova: a equação é separável e também linear com coeficiente constante; qualquer uma das duas abordagens chega à mesma resposta. Na hora da prova, escolha separação (mais direta aqui) ou integradora se a questão envolver termo não homogêneo. Respira fundo: memorizar a forma
e saber derivá‑la rápido já resolve essa questão.