16 (a) Desenvolva expressões para a densidade planar em termos do raio atômico R para os planos (100) e (111) na estrutura CFC.
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no alumínio (Al).

Passo 1

O enunciado pede a densidade planar (átomos por unidade de área) para os planos (100) e (111) de uma estrutura cúbica de faces centradas (CFC), primeiro em função do raio atômico R e depois num valor numérico para o alumínio. Para isso vamos usar:
– Contagem de átomos cujos centros estão no plano.
– Área da célula de superfície do plano.
– Relação entre parâmetro de rede a e raio atômico em CFC: a=2\sqrt{2}\,R.

Passo 2

Plano (100):
Cada célula de superfície tem 4 átomos nos vértices, cada um compartilhado por quatro faces, somando 1 átomo por célula. A área é a^2. Logo, em função de a:
\rho_{(100)}=\frac{1}{a^2}.
Substituindo a=2\sqrt{2}\,R vem
\rho_{(100)}=\frac{1}{(2\sqrt{2}\,R)^2}=\frac{1}{8\,R^2}.

Passo 3

Plano (111):
A célula de superfície é um paralelogramo de área \frac{\sqrt{3}}{2}a^2. Somando as contribuições dos centros de átomos que jazem nesse plano chega-se a 2 átomos por célula. Assim,
\rho_{(111)}=\frac{2}{(\sqrt{3}/2)\,a^2}=\frac{4}{\sqrt{3}\,a^2}.
Substituindo a=2\sqrt{2}\,R obtemos
\rho_{(111)}=\frac{4}{\sqrt{3}\,(2\sqrt{2}\,R)^2} =\frac{4}{8\sqrt{3}\,R^2} =\frac{1}{2\sqrt{3}\,R^2}.

Passo 4

Para o alumínio toma-se o raio atômico típico
R_{\text{Al}}=0,143\,\text{nm}.
Então
\rho_{(100)}^{\text{Al}} =\frac{1}{8\,(0,143\,\text{nm})^2} \approx6,11\;\text{átomos}/\text{nm}^2,á
\rho_{(111)}^{\text{Al}} =\frac{1}{2\sqrt{3}\,(0,143\,\text{nm})^2} \approx14,1\;\text{átomos}/\text{nm}^2.á

Passo 5

Comparando os valores numéricos para o Al, nota-se que
\rho_{(111)}^{\text{Al}} \approx2{,}3\,\rho_{(100)}^{\text{Al}},
ou seja, o plano (111) é muito mais densamente povoado de átomos que o (100).

Resposta

(a) \displaystyle\rho_{(100)}=\frac{1}{8\,R^2}
\displaystyle\rho_{(111)}=\frac{1}{2\sqrt{3}\,R^2}
(b) Para R_{\text{Al}}=0,143 nm:
\rho_{(100)}^{\text{Al}}\approx6,11 átomos/nm ^2
\rho_{(111)}^{\text{Al}}\approx14,1 átomos/nm ^2
Logo \rho_{(111)}^{\text{Al}}\approx2,3\,\rho_{(100)}^{\text{Al}}.

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